Momento 2: Trabajo colaborativo Unidad 1 - Análisis de sucesiones y progresiones.
damafe72Tarea4 de Noviembre de 2016
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Momento 2: Trabajo colaborativo Unidad 1 - Análisis de sucesiones y progresiones.
Grupo: 100410_373
Presentado a:
Carlos Eduardo Otero Murillo
Calculo Diferencial
Código: 100410
Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD
Septiembre 30 de 2016
Introducción
En este trabajo encontramos el desarrollo a los ejercicios planteados para la Unidad 1 del curso de Calculo Diferencial de la UNAD, los cuales se desarrollan empleando los conocimientos adquiridos con el estudio del material propuesto para el desarrollo de la actividad; cada estudiante del grupo selecciono un grupo de ejercicios, en el trabajo se especifica que estudiante desarrollo cada ejercicio.
FASE No. 1.
- Estudiante. Ana María Dávalos Hernández
- Para la siguiente sucesión determinar la cota inferior y/o superior.
[pic 1]
Paso 1: Determinar la secuencia de la sucesión.
[pic 2]
[pic 3]
[pic 4]
[pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
[pic 8]
[pic 9]
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
Paso 2: Se acomodan los datos para apreciar la sucesión.
n | An |
1 | -2,5 |
2 | -10 |
3 | 0 |
4 | 20 |
5 | 12,5 |
6 | 10 |
7 | 8,75 |
8 | 8 |
Pasó 3: Se realiza un análisis de la sucesión: la sucesión no está acotada ni inferiormente ni superiormente; pues la sucesión es oscilante y para ser acotada los términos deben cumplir el axioma de que la constante deber ser ≤ o ≥ que el primer término. [pic 18]
- Para la siguiente sucesión, determinar si es monótona, si converge o diverge y justificar la respuesta.
[4.9.16.25.36.49]
Paso 1: se determina qué tipo de sucesión es y se aplica el método.
[4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49]
5 - 7 - 9 - 11 - 13 1° orden
2 - 2 - 2 - 2 2° orden
Es una sucesión cuadrática.
Forma general: [pic 19]
Se utiliza el método de las ecuaciones.
4[pic 20]
9[pic 21]
16[pic 22]
Se resta a :[pic 25][pic 23][pic 24]
5[pic 26]
7[pic 27]
2[pic 28]
1[pic 29]
Se remplaza en la primera ecuación:
5[pic 30]
5-3[pic 31]
2[pic 32]
Donde: A= 1 - B= 2 - C= 1. Se remplazan en la forma general:
[pic 33]
Paso 2: a simple vista se puede deducir que es una sucesión con monotonía creciente, pero se halló el n-esimo término de la sucesión para poder comprobarla:
Sucesión creciente: [pic 34]
Para saber cuál es remplazamos en el término n-esimo la “n” por “”:[pic 35][pic 36]
[pic 37]
[pic 38]
[pic 39]
Se remplazan los términos:[pic 40]
[pic 41]
[pic 42]
[pic 43]
[pic 44]
2n + 3 > 0
Se comprueba la formula remplazando la “n”
[pic 45]
[pic 46]
R/ La sucesión cumple con el axioma de sucesión creciente.
Paso 3: para saber si converge o diverge, requerimos conocer cuál es su cota:
[4.9.16.25.36.49]
A simple vista de los términos se puede determinar que se trata de una sucesión acotada inferiormente:
[pic 47]
[pic 48]
También se aprecia que la sucesión tiente al infinito, lo cual no permite establecer una cota superior y la convierte en una sucesión divergente:
[pic 49]
Resuelva los siguientes problemas usando ecuaciones de progresión aritmética o geométrica según corresponda.
- Pablo ha decidido ahorrar dinero, 4 pesos para empezar y 20 centavos cada día. ¿Cuánto dinero tendrá Pablo al cabo de un mes (30 días)?
Progresión aritmética:
4+(0.2)n
4+(0.2)30 = 10 R/ Pablo tendrá $10 al cabo de un mes de 30 días.
- En un laboratorio, un científico después de aplicar un catalizador a una bacteria descubre que durante la primera hora obtuvo 3 bacterias y estas se reproducirán por tripartición cada hora, el científico requiere desarrollar en 8 horas un cultivo de bacterias a 50.000. responda las siguientes preguntas.
Progresión geométrica: [pic 50]
¿Cuál es el tamaño del cultivo de bacterias obtenidas luego de 4 horas?
R/ En 4 horas habrán 81 bacterias[pic 51]
¿Logra el científico cultivar la cantidad de bacterias que requiere?
[pic 52]
R/ El científico no logra cultivar 50.000 bacterias en 8 horas, en este tiempo, las bacterias solo se reproducen en 6561 de ellas.
Independientemente de si logra o no lo logra ¿En cuánto tiempo lograría el científico tener el cultivo de bacterias requerido?
[pic 53]
[pic 54]
[pic 55]
[pic 56]
R/ el científico lograría reproducir la bacteria en 50.000 unidades al cabo de un promedio de 9,8 horas.
- Estudiante. Gineth Silvana Charris
Para la siguiente sucesión determinar la cota inferior y/o superior.
𝑎) [pic 57]
en este caso se ha determinado la cota inferior
N | an |
1 | [pic 58] |
2 | [pic 59] |
3 | [pic 60] |
4 | [pic 61] |
5 | [pic 62] |
Cota inferior sea m = 0 an [pic 63]
Comprobamos > 0[pic 64]
Cota superior: [pic 65]
an < [pic 66]
< [pic 67][pic 68]
1 < (3n) = [pic 69][pic 70]
1 < esta es la cota superior[pic 71][pic 72]
Para la siguiente sucesión, determinar si es monótona, si converge o diverge y justificar la respuesta.
𝑏) [,,,,… ] [pic 73][pic 74][pic 75][pic 76]
< [pic 77][pic 78]
2(9) < 5(4)
18 < 20
Concluimos que es creciente
,,,,….[pic 79][pic 80][pic 81][pic 82]
Como los términos no tienden a subir siempre o a bajar siempre se concluye que la sucesión es divergente
Resuelva los siguientes problemas usando ecuaciones de progresión aritmética o geométrica según corresponda.
𝑐) Ángela ha vuelto encantada de sus vacaciones, y ha compartido con 40 amigos las fotos en una red social. Cada uno de ellos, a su vez, las ha compartido con otros 40, y así sucesivamente.
¿Cuántas personas pueden ver las fotos de las vacaciones de Ángela, si se han compartido hasta el 10º grado de amistad?
1600 amigo que ven las fotos
Esto se repite 10 veces, entonces 1600 x 10 = 16.000 personas que ven las fotos
El primer término de una progresión aritmética es 5, el tercer término es 9 y la suma de los 3 primeros términos es 21. Halla la suma de los 10 primeros términos.
Progresión aritmética:
an = a1, a2, a3
= 5, a2, 9……. A10
5+ a2+ 9= 21
a2 + 14 = 21
a2 = 21 – 14
a2 = 7
𝑑) El primer término de una progresión aritmética es 5, el tercer término es 9 y la suma de los 3 primeros términos es 21. Halla la suma de los 10 primeros términos.
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