Resumen juego de negociación

[pic 1]

        Un juego de forma extensiva es definido por un árbol que ha sido correctamente construido y etiquetado; en términos matemáticos un árbol es un "gráfico dirigido", se puede comenzar desde un nodo dado y rastrear a través del árbol siguiendo las flechas. Los nodos a los que se puede llegar de esta manera se denominan sucesores del nodo en el que comienza. Se ramifica desde un punto de nodo dado a sus sucesores inmediatos. De manera análoga, al rastrear hacia atrás a través del árbol desde un nodo dado, puede definir los predecesores de un nodo y el predecesor inmediato.

En la figura 14.1, los nodos b y c son sucesores del nodo a. El nodo b es un sucesor inmediato del nodo a y el predecesor inmediato del nodo c. Es decir, los árboles tienen una "relación de precedencia transitiva". Un árbol comienza con el nodo[pic 2]

inicial y termina en los nodos terminales. Sería bueno que el nodo inicial designara claramente el "comienzo" del árbol, por lo que se impone la siguiente regla a los árboles:

Regla de árbol 1 Cada nodo es un sucesor del nodo inicial, y el nodo inicial es el único con esta propiedad. Una ruta a través del árbol es una secuencia de nodos que (1) comienza con el nodo inicial, (2) termina con un nodo terminal y (3) tiene la propiedad de que los nodos sucesivos en la secuencia son sucesores inmediatos entre sí. Cada camino es una forma de recorrer el árbol siguiendo las ramas, y no deben cruzarse dos caminos. La siguiente regla captura este requisito.

Regla de árbol 2 Cada nodo, excepto el nodo inicial, tiene exactamente un predecesor inmediato.

Regla de árbol 3 Varias ramas que se extienden desde el mismo nodo tienen diferentes etiquetas de acción. Los conjuntos de información representan lugares donde los jugadores deben tomar decisiones. Un conjunto de información es un conjunto de nodos entre los que un jugador no puede distinguir al tomar una decisión

Regla de árbol 4 Cada conjunto de información contiene nodos de decisión para solo uno de los jugadores. No tiene sentido tener un conjunto de información que contenga los nodos a y b si a es un nodo de decisión para el jugador 1 y b es un nodo de decisión para el jugador 2, como se muestra en la Figura 14.2 ( a). Implicaría que, en algún momento del juego, los jugadores no saben quién debe tomar una decisión.

[pic 3]

Regla de árbol 5 Todos los nodos en un conjunto de información dado deben tener el mismo número de sucesores inmediatos y deben tener el mismo conjunto de etiquetas de acción en las ramas que conducen a estos sucesores. Si un jugador tiene un número diferente de acciones disponibles en los nodos a y b, entonces debe poder distinguir entre estos nodos. En la Figura 14.2

(b) se muestra un árbol que viola la Regla de árbol 5.

Además de las reglas del árbol, generalmente es razonable suponer que los jugadores recuerdan sus propias acciones pasadas, así como cualquier otro evento que hayan observado. Se dice que un juego que satisface esta suposición exhibe un recuerdo perfecto. Aunque hay ejemplos del mundo real de memoria imperfecta, la teoría de juegos se enfoca en modelos con memoria perfecta.[pic 4]

Un jugador puede elegir entre un número infinito de acciones. Por ejemplo, un juego de mercado simple entre dos empresas en el que la empresa 1 primero decide cuánto gastar en publicidad y luego la empresa 2, después de observar la elección de la empresa 1, decide si salir

o permanecer en el mercado, pero 1 puede elegir cualquier nivel de publicidad entre cero y uno. Esta empresa puede elegir niveles de publicidad de 0.5, 0.3871, etc. Debido a que hay un número infinito de acciones posibles para la empresa 1, no se puede dibujar una rama para cada acción. Sin embargo, una forma de representar las opciones potenciales de la empresa 1 es dibujar dos ramas del nodo de decisión de la empresa 1, designando niveles de publicidad de cero y uno, como en la figura 14.4 (a). Estas ramas están conectadas por un arco, lo que muestra que la empresa 1 puede seleccionar cualquier número entre cero y uno. Etiquetamos esta configuración gráfica con una variable (a), que representa la acción de la empresa 1. En el interior del arco se dibuja un nodo genérico que continúa el árbol. En este juego, las ganancias de los jugadores dependen de a. En otra versión del juego, el jugador 2 no observa el nivel de publicidad de la empresa 1, como se muestra en la Figura 14.4 (b).

14.2 Recordando la definición de estrategia

En un juego de negociación de ofertas de ultimátum. En este juego, la estrategia del jugador 1 es un número p, que se asume está entre 0 y 100. Por lo tanto, el espacio de estrategia para el jugador 1 es S1 = [0, 100]. La estrategia del jugador 2 proviene de un espacio más complicado. El jugador 2 tiene un número infinito de conjuntos de información, uno para cada una de las ofertas factibles del jugador 1. Por ejemplo, un conjunto de información corresponde al jugador 1 que acaba de hacer la oferta p = 28; otro conjunto de información sigue a la oferta p = 30,75; otro sigue la oferta p = 62; etcétera. Debido a que hay un número infinito de puntos en el intervalo [0, 100], el jugador 2 tiene un número infinito de conjuntos de información. La estrategia del jugador 2 debe especificar la elección del jugador 2 entre Sí y No en cada uno de los conjuntos de información del jugador 2. Formalmente, la estrategia del jugador 2 en este juego se puede expresar como una función que asigna la oferta de precio del jugador 1 p al conjunto {Sí, No}.

Entonces, para cualquier oferta p que haga el jugador 1, la respuesta del jugador 2 es s2 (p).[pic 5]

En la Figura 15.1 hay dos empresas un participante potencial (jugador 1) y un titular (jugador 2). El participante decide si ingresa o no en la industria del operador establecido. Si el participante[pic 6]

se queda fuera, el titular obtiene una gran ganancia y el participante obtiene cero. Si el participante potencial entra en la industria, entonces el titular debe elegir si participa o no en una guerra de precios. Si la empresa desencadena una guerra de precios, ambas empresas sufren. Si el titular acomoda al participante, ambos obtienen ganancias modestas.

En la figura 15.1 se muestran las representaciones en forma extensiva y normal de este juego de mercado. Un vistazo rápido a la forma normal revelará que el juego tiene dos equilibrios de Nash en estrategias puras: (I, A) y (O, P). Este último equilibrio requiere una explicación. Suponga que los jugadores no seleccionan sus estrategias en tiempo real, sino que eligen sus estrategias antes de jugar el juego como sugiere la forma normal. El participante prefiere no participar si espera que el titular inicie una guerra de precios. Por su parte, el titular no tiene ningún incentivo para desviarse de la estrategia de guerra de precios cuando está convencido de que el participante se mantendrá al margen.

1. Amenazas increíbles en el juego Duopolio de Stackelberg

Considere el juego de duopolio de Stackelberg, en este juego, la empresa 1 selecciona una cantidad q1 ∈ [0, 12], que es observada por la empresa 2, y luego la empresa 2 selecciona su cantidad q2 ∈ [0, 12]. La recompensa de la empresa 1 es (12 - q1 - q2) q1 y la recompensa de la empresa 2 es (12 - q1 - q2) q2. Recuerde que la estrategia de la empresa 2 se puede expresar como una función s2: [0, 12]        [0, 12] que mapea la cantidad de la empresa 1 en la cantidad de la empresa 2 en respuesta. Esto se debe a que cada valor de q1 produce un conjunto de información[pic 7]

distinto para la empresa 2. Confirme que para cualquier x ∈ [0, 12], hay un equilibrio de Nash del juego en el que q1 = x y s2 (x) = (12 - x) / 2.

Comprobemos esta afirmación para x = 0, el caso en el que se supone que la empresa 1 produce q1

= 0 y se supone que la empresa 2 sigue con la cantidad q2 = 6. Es decir, al no producir nada, la empresa 1 abandona todo el mercado a la empresa 2. Claramente q2 = 6 maximiza (12 - q2) q2. Pero este cálculo no es suficiente para verificar el equilibrio de Nash porque aún no se ha especificado la estrategia para la empresa 2. Considerando la siguiente estrategia para la empresa 2 donde s2 (0) = 6 y s2 (q1) = 12 - q1 para cada q1 ≠ 0. Si la empresa 1 produce una cantidad positiva, entonces la empresa 2 producirá exactamente la cantidad que empuja a precio (y por lo tanto el pago de la empresa 1) hasta 0. Claramente, contra la estrategia s2, la empresa 1 no puede ganar desviándose de q1 = 0. Además, contra q1 = 0, la empresa 2 no tiene ningún incentivo para desviarse de s2. Cambiar la especificación de s2 (x) para cualquier x ≠ 0 no tendría ningún efecto en el pago de la empresa 2, ya que la estrategia del jugador 1 es q1 = 0. Por lo tanto, (0, s2) es un equilibrio de Nash.

...