Teoría de juegos

1. (20 puntos) Considere el siguiente problema de correspondencia de utilidad no transferible entre universidades (u) y estudiantes de posgrado (s). Si es inigualable,

los pagos son cero.

(a) Encuentre una correspondencia estable. ¿Es único? Muéstralo formalmente o encuentra un emparejamiento estable adicional (no es necesario encontrarlo a través de DAA).

Primero, debemos expresar las preferencias de universidades (u) y estudiantes (s) en listas ordenadas:

Universidades:

u1: s1 > s3 > s2

u2: s3 > s1 > s2

u3: s2 > s3 > s1

Estudiantes:

s1: u3 > u1 > u2

s2: u3 > u1 = u2

s3: u3 > u2 > u1

Podemos buscar una correspondencia estable analizando las preferencias directamente.

Proponemos la siguiente correspondencia estable:

• u1 emparejado con s1
• u2 emparejado con s3
• u3 emparejado con s2
  

Debemos asegurarnos de que no haya ningún estudiante y universidad que prefieran simultáneamente estar emparejados entre sí en lugar de sus parejas actuales.

No hay tal situación en la correspondencia propuesta.
Por lo tanto, la correspondencia es estable.

Ahora, verifiquemos si hay otra correspondencia estable:

• No podemos emparejar u1 con s2 o s3 porque u1 prefiere a s1.
• No podemos emparejar u3 con s1 o s3 porque u3 prefiere a s2.
• No podemos emparejar u2 con s1 porque s1 prefiere a u1 y u3 sobre u2.

Por lo tanto, no hay otra correspondencia estable, y la correspondencia estable encontrada es única.

(b) Suponga que cada participante informará sus clasificaciones de preferencia a

un planificador social que luego asignará la casación utilizando el DAA ”Universidades Proponentes”. ¿Hay algún estudiante universitario o de posgrado que les gustaría informar erróneamente sus preferencias mientras todos los demás informan sus verdaderas preferencias? Si lo hay, quién sería, por qué y qué sería el partido final? Si no, proporcione pruebas.

(b) Ahora, utilicemos el DAA "Universidades Proponentes" en las preferencias verdaderas:

1. u1 propone a s3, s3 acepta.
2. u2 propone a s3, pero s3 rechaza porque ya aceptó a u1.
3. u2 propone a s1, s1 acepta.
4. u3 propone a s2, s2 acepta.

El emparejamiento resultante es: (u1, s3), (u2, s1), (u3, s2), el mismo que encontramos en el inciso (a).

Considerando las preferencias verdaderas, no hay ningún estudiante universitario o de posgrado que tenga incentivos para mentir acerca de sus preferencias, ya que en este emparejamiento estable, todos obtienen su mejor opción posible dadas las preferencias de los demás. Por lo tanto, no hay motivos para que informen erróneamente sus preferencias.

2. (15 puntos) Suponga que los tipos se extraen de los números reales R. Cuando cualquier

el tipo x coincide con cualquier tipo y, el tipo x obtiene un pago y − axy, y el pago

a y coincidente con x es simétricamente x − axy. Suponga un a ∈ R.

(a) Si estos pagos son intransferibles, quién empareja con quién en una relación estable ¿pareo? (Pista: podría ser útil dividir tu respuesta en tres casos: a > 0, a = 0 y a < 0.)

Analicemos los tres casos para determinar quién empareja con quién en una relación estable:

Caso a > 0:

En este caso, el producto axy es positivo. Si ambos tipos (x, y) son altos o bajos, entonces y - axy  ,  x - axy serán mayores, lo que resulta en una mayor utilidad para ambos tipos. Por lo tanto, los tipos altos preferirán emparejarse con otros tipos altos y los tipos bajos preferirán emparejarse con otros tipos bajos.

Caso a = 0:

Aquí, el producto axy es cero, lo que significa que los pagos son simplemente y para el tipo x y x para el tipo y. En este caso, todos los tipos preferirán emparejarse con el tipo más alto disponible.

Caso a < 0:

En este caso, el producto axy es negativo. Si un tipo alto se empareja con un tipo bajo y viceversa, entonces y - axy , x - axy serán mayores, lo que resulta en una mayor utilidad para ambos tipos. Por lo tanto, los tipos altos preferirán emparejarse con tipos bajos y los tipos bajos preferirán emparejarse con tipos altos.

(b) Si se trata de pagos transferibles, ¿a quién desea el planificador social

emparejar con quien?

Si los pagos son transferibles, el objetivo del planificador social es maximizar la suma total de las utilidades. La función de utilidad agregada es:

U(x, y) = (y - axy) + (x - axy) = x + y - 2axy

Para maximizar esta función, derivamos con respecto a x e y:

dU/dx = 1 - 2ay

dU/dy = 1 - 2ax

Igualamos las derivadas parciales a cero y resolvemos para x e y:

1 - 2ay = 0 => y = 1/(2a)

1 - 2ax = 0 => x = 1/(2a)

Así, el planificador social querrá emparejar a los tipos x = 1/(2a) e y = 1/(2a) para maximizar la utilidad agregada.

3. (20 puntos) Considere elegir entre dos loterías: lotería A y lotería B. En la lotería A puedes ganar $27,500 con probabilidad 0.33, $24,000 con probabilidad 0.66, o $0 con probabilidad 0.01. La Lotería B da $24,000 con certeza. Ahora considere otras dos loterías: la lotería A' y B'. En la lotería A' puedes ganar $27,500 con probabilidad 0.33, o $0 con el restante 0.67 probabilidad. En la lotería B’ puedes ganar $24,000 con probabilidad 0.34, o $0 con la probabilidad restante de 0,66. Muestre que si un individuo prefiere 1 lotería B sobre la lotería A, pero luego prefiere la lotería A' sobre la lotería B', el se viola el axioma de independencia.

Tenemos las siguientes loterías:

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