Ejercicios Resueltos Señales y Sistemas

[pic 1]

1. Por el teorema de muestreo de Nyquist -> , para este caso tenemos que  , entonces:[pic 2][pic 3]

, o en otras palabras, [pic 4][pic 5]

Si por cada hora tenemos 3600 seg

        [pic 6]

Si cada muestra ocupa un byte de memoria (8 bits)

[pic 7]

1. Si la frecuencia máxima es de 22KHz, entonces

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1. Para que dos señales de diferentes frecuencias se puedan muestrear sin perder información, es necesario tomar como referencia para el muestreo a la más alta de estas, ya que si se toma una frecuencia menor existiría perdida de información.

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1. Usando la propiedad de dualidad en la transformada inversa en un pulso de amplitud A

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[pic 11]

Tenemos  y , entonces[pic 12][pic 13]

        [pic 14][pic 15]

de donde es de banda limitada con [pic 16][pic 17]

1. Por el teorema de Nyquist

[pic 18]

[pic 19]

1. Calculando el espectro a través de la convolución

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Con una frecuencia de muestreo del doble del inciso anterior, dando con esto a demás

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1. Utilizando el valor de  calculado en el inciso b y tomando en cuenta que ,obtenemos entonces una señal discreta  y [pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

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1. Como se ha visto anteriormente, y por la propiedad de dualidad

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1. Del inciso anterior podemos notar que es de banda limitada[pic 30]
2. Según el teorema de muestro de Nyquist , despejando Ts tenemos[pic 31]

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El periodo de muestreo de la señal cumple con esta condición, por lo tanto es el periodo de muestreo de Nyquist.

1. Muestreando la señal con [pic 33]

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Dando para , y  para  (con n tomando valores enteros). De donde podemos observar que la señal no podría ser reconstruida por perdida de información.[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

[pic 39]

[pic 40]

1. Sacando transformada de Fourier

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1. Según el teorema de Nyquist

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1. Dado que el ancho de banda de la señal es de   = , y por el teorema de Nyquist tenemos que la frecuencia de muestreo es el doble: [pic 46][pic 47][pic 48]

De donde, es más pequeña que la calculada en a).

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1. Dado que x(t) es de banda limitada, entonces por convolución tenemos

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1. La frecuencia del filtro () es mayor a la frecuencia máxima de , entonces[pic 52][pic 53]

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1. Si calculamos T en base a  entonces [pic 55]

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 El tiempo necesario para realizar el muestreo es [pic 57][pic 58]

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1. Según el teorema de Nyquist, y si =1 then [pic 60]

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Para poder reconstruir la señal la frecuencia de corte ideal del filtro pasa bajas debería ser

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Del inciso anterior sabemos que[pic 65][pic 66]

La cual es la frecuencia máxima, y así podemos decir que para que un filtro funcione, sea o no ideal debe de tener una frecuencia menor a esta.

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El tocadiscos almacena una señal analógica, lo cual hace que la información almacenada sea de una fidelidad mucho mayor que la ofrecida por el CD. Pues este último almacena una señal digital, que si bien muchas veces pasa por un filtro anti aliasing, pierde información a la hora de ser codificada para su grabación, en especial con las altas frecuencias.

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… calculando con Matlab   [pic 75][pic 74]

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Sustituyendo  en [pic 77][pic 78]

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Desarrollando:

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[pic 82]

...