TODO ACERCA DE QUE SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.
Enviado por julyR • 17 de Enero de 2017 • Documentos de Investigación • 1.316 Palabras (6 Páginas) • 237 Visitas
ECUACIONES DIFERENCIALES.
Introducción
Muchas de las leyes de la naturaleza, en física, química o astronomía, encuentran su expresión más natural en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Son asimismo abundantes en la propia matemática, especialmente en la geometría.
Es fácil comprender la razón que se oculta tras la amplia gama de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Recuerde que si [pic 1] es una función, su derivada se puede interpretar como la razón de cambio de [pic 2] con respecto a [pic 3]. En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus razones de cambio están relacionadas entre sí por medio de los principios científicos básicos que gobiernan dicho proceso. Al expresar tal conexión en el lenguaje matemático, el resultado es con frecuencia una ecuación diferencial ([2]).
El siguiente ejemplo ilustra lo anterior. Por la segunda ley de Newton, la aceleración [pic 4] de un cuerpo de masa [pic 5] es proporcional a la fuerza total [pic 6], que actúa sobre él con [pic 7] como constante de proporcionalidad, de modo que [pic 8], o sea,
[pic 9] | (1.1) |
Supongamos, por ejemplo, que un cuerpo de masa [pic 10] cae bajo la sola influencia de la gravedad. En tal caso la única fuerza que actúa sobre él es [pic 11], donde [pic 12] es la aceleración de la gravedad 1.1. Si [pic 13] es la altura medida hacia abajo desde una cierta posición prefijada, entonces su velocidad es [pic 14] es la razón de cambio de su posición. Por otro lado su aceleración
[pic 15]
es la razón de cambio de la velocidad. Con esta notación, ecuación 1.1 se convierte en
[pic 16] | (1.2) |
Si alteramos la situación, admitiendo que el aire ejerce una fuerza de resistencia proporcional a la velocidad, como se muestra en la figura 1 , la fuerza total que actúa sobre el cuerpo es
[pic 17]
y la ecuación 1.1 se reduce a
[pic 18] | (1.3) |
Las ecuaciones diferenciales 1.2 y 1.3 expresan las características esenciales de los procesos físicos considerados.
[pic 19]
Figura 1
¿Qué es una ecuación diferencial?
| Definición [Ecuación Diferencial] |
| Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial. |
La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:
[pic 20]
Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable. Otro ejemplo es
[pic 21]
Es claro que lo que está detrás de esta ecuación es la fórmula notable[pic 22]; por lo que la ecuación es satisfecha por cualquier función derivable.
Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que tiene a [pic 23] como variable dependiente y a [pic 24] como variable independiente se acostumbra expresar en la forma
[pic 25] | (1.4) |
para algún entero positivo [pic 26]. Si podemos despejar de esta ecuación la derivada más alta, obtenemos una o más ecuaciones de orden [pic 27] de la forma
[pic 28]
Ejemplo
La ecuación [pic 29] es equivalente a las dos ecuaciones diferenciales
[pic 30]
Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías, como ya vimos, según su tipo en ordinarias y parciales, o según su linealidad u orden, como veremos.
| Definición [ Orden de una ecuación diferencial] |
| El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación. |
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