Actividad 1. El triángulo de Pascal

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Observe cuidadosamente el arreglo de números que se presenta a continuación:

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1. Éstos representan una parte del llamado triángulo de Pascal, y tienen la propiedad de que cada renglón del arreglo puede obtenerse de manera sencilla a partir del renglón anterior; ¿cómo?

2. Escriba los números correspondientes al noveno renglón:

3. Una aplicación útil de este arreglo de números es que nos permite desarrollar de manera rápida el producto correspondiente a elevar a una cierta potencia n una suma de números a y b. Esta operación se conoce como “binomio de Newton” y en símbolos se escribe como sigue:

(a + b)ⁿ

Para encontrar el producto correspondiente a un valor determinado de n, basta con seguir los siguientes 3 pasos:

        1. Localizar el renglón del triángulo correspondiente al valor de n. Si n es cero, debe seleccionarse el renglón uno; si n es uno, se selecciona el renglón dos y así sucesivamente.

        2. Cada número del renglón seleccionado será multiplicado por alguna potencia del número a y por alguna potencia del número b y sumado con los demás.

        3. Las potencias mencionadas en el paso anterior se obtienen como sigue: Respetando el orden en que se presentan los números del triángulo, elevamos el número b del primer término a la potencia cero, el del segundo término a la uno y así sucesivamente; en cuanto al número a, en el primer término lo elevamos a la potencia n, en el segundo a la n-1, y así sucesivamente.

Por ejemplo, cuando n vale 4, el producto correspondiente a (a + b)4 se obtiene como sigue:

        1. Localizar el renglón del triángulo correspondiente al valor de n. Si n es cero, debe seleccionarse el renglón uno; si n es uno, se selecciona el renglón dos y así sucesivamente. Para n = 4, el renglón correspondiente es

1        4        6        4        1

        2. Cada número del renglón seleccionado será multiplicado por alguna potencia del número a y por alguna potencia del número b y sumado con los demás. En este caso tenemos:

1 a¿? b¿? + 4 a¿? b¿? + 6 a¿? b¿? + 4 a¿? b¿? + 1 a¿? b¿?

        3. Las potencias mencionadas en el paso anterior se obtienen como sigue: Respetando el orden en que se presentan los números del triángulo, elevamos el número b del primer término a la potencia cero, el del segundo término a la uno y así sucesivamente; en cuanto al número a, en el primer término lo elevamos a la potencia n, en el segundo a la n-1, y así sucesivamente. En este caso:

1 a4 b0 + 4 a3 b1 + 6 a2 b2 + 4 a1 b3 + 1 a0 b4

Y por lo tanto

(a + b)4 = 1 a4 b0 + 4 a3 b1 + 6 a2 b2 + 4 a1 b3 + 1 a0 b4

4. Calcular los términos de (a + b)7

En una caja hay 4 canicas diferentes; una verde, una azul, una negra y una blanca.

1. ¿De cuantas formas se pueden seleccionar dos de ellas al azar?

2. ¿De cuantas formas se pueden seleccionar tres de ellas al azar?

3. ¿De cuantas formas se pueden seleccionar cuatro de ellas al azar?

4. ¿De cuantas formas se puede seleccionar una de ellas al azar?

5. ¿De cuantas formas se pueden seleccionar cero de ellas al azar?

6. Observe cuidadosamente los números que respondió en las preguntas anteriores y compárelos con los que aparecen en el triángulo de Pascal. ¿Existirá alguna relación?

7. Supongamos que agregamos dos canicas más en la caja; una plateada y una dorada, teniendo así un total de 6 en la caja. Llenar la siguiente tabla:

8. Calcular la suma de los números que escribiste en las preguntas 1 a la 5 y compararla con la cantidad 24. ¿Son iguales? ¿Por qué?

9. Calcular la suma de los números que escribiste en la tabla de la pregunta 7 y compararla con la cantidad 26. ¿Son iguales? ¿Por qué?

10. Crees que en general, si ponemos n canicas diferentes y hacemos todo el ejercicio como los anteriores ¿obtenemos el número 2n? ¿Por qué?

11. ¿Qué ocurre si tratamos de seguir los pasos descritos en la actividad 1 (el binomio de Newton) pero sustituimos el valor de a por el número uno y el valor de b también por el número uno?

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