Algebra Colaborativo

1 De la siguiente relación R = {(x, y) / 3y + 4x^2– 4x + 3 = 0}. Determine:

a) Dominio b) Rango

Dominio:

3y + 4x^2 – 4x + 3 = 0 Despejamos Y

3y = 4x −4x^2 – 3

Y = (4x -〖4x〗^(2 )-3 )/3

Rango: {× ∕ × € R}

Rango:

3y + 4x^2− 4x + 3 = 0 Despejamos x

4x^2 – 4x = −3y – 3

4 (x^2−x) = (-3y -3)/4 Completando cuadrado

x^2 – x + 1/4 = (-3y -3)/4 + 1/4

(X − 1/(2 ) )^2 = (-3y -3 +1)/4

(X − 1/2 )^2 = (-3y -2)/4 Extrayendo raíz cuadrada

X − 1/2 = √((- 3y -2)/4)

X = √((- 3y -2)/4) − 1/2

(- 3y -2)/4 ≥ 0

−3y −2 ≥ 0

−3y ≥ 2 Multiplicamos por (-1)

3y ≤ −2

Y ≤ (-2)/3

Rango: {y / y ≤ −2/3}

2. Dada las funciones f (x)= 3x - 2; g (x) = x3. Determine:

a) (f + g)_((2)) b) (f - g)_((2)) c) (f g)_((2)) d) (f / g)_((2))

a) (f + g)_((2))

Encontramos

(f + g)_((x)) = 3x −2 +〖 x〗^3

(f + g)_((2)) = 3(2) −2 + 2^3 Reemplazamos a x por 2 y realizamos operaciones

(f + g)_((2)) = 6 – 2 + 8

(f + g)_((2)) = 12

b) (f - g)_((2))

Encontramos

(f - g)_((x))= 3x −2 −〖 x〗^3 Reemplazamos a x por 2 y realizamos operaciones

(f - g)_((2)) = 3 (2) −2 −2^3

(f - g)_((2)) = 6 – 2 – 8

(f - g)_((2)) = −4

c) (f g)_((2))

Encontramos

(f.g)_((x) )= (3x −2) (x^3)

(f.g)_((x) )= 3x^4 − 2x^3

(f.g)_((2) )= 3 (〖2)〗^4 – 2 (〖2)〗^3 Reemplazamos a x por 2 y realizamos operaciones

(f.g)_((2) )= 3 (16) – 2 (8)

(f.g)_((x) )= 48 – 16 = 32

d) (f / g)_((2))

Encontramos

(f / g)_((x)) = (3x -2)/x^3

(f / g)_((2)) = (3(2) -2)/2^3 Reemplazamos a x por 2 y realizamos operaciones

(f / g)_((2)) = (6 -2)/8

(f / g)_((2)) = 4/8 = 1/2

3. Verifique las siguientes identidades:

a) (sec⁡x x + tan⁡x) (1 – sen⁡x) = cos⁡x

(1/(Cos x) + (Sen x)/(Cos x))( 1 – sen⁡x) = cos⁡x, sec⁡x = 1/Cosx , tan⁡x = Senx/Cosx

((1 +Senx)/Cosx) (1 – sen⁡x) = cos⁡x, Multiplico (1 + sen⁡x)(1 – sen⁡x)

(1 -〖Sen〗^(2 ) x)/Cosx = cos⁡x, 〖Cos〗^(2 ) x = 1 −〖Sen〗^(2 ) x

(〖Cos〗^(2 ) x)/(Cos x) = cos⁡x,

cos⁡x =cos⁡x

b) tan⁡〖x +cos⁡x 〗/Senx =Sec x +Cot x

tan⁡x/sen⁡x + cos⁡x/sen⁡x = sec⁡〖x 〗+ cot⁡x, tan⁡x = sen⁡x/cos⁡x

(sen⁡x/cos⁡x )/sen⁡x + cos⁡x/sen⁡x = sec⁡x + cos⁡x, división de fracciones

sen⁡x/cos⁡〖x.sen⁡x 〗 + cos⁡x/sen⁡x = sec⁡x + cot⁡x

1/cos⁡x + cos⁡x/sen⁡x = sec⁡x + cot⁡x 1/cos⁡x = sec⁡x, cos⁡x/sen⁡x = cot⁡x

sec⁡〖x 〗+ cot⁡x = sec⁡x + cot⁡x

4. Cuando el ángulo

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