Colaborativo 2 Probabilidad

INTRODUCCION

Se definen las variables aleatorias y se establece la diferencia entre variables aleatorias discretas y continuas, en términos de su función de probabilidad, valor esperado, varianza y desviación estándar y se desarrolla la desigualdad de Chébyshev que se aplica a cualquier variable aleatoria discreta o continua.

Los problemas representativos en estas áreas intentan la predicción de lo que sucederá en circunstancias donde se incluyen elementos conocidos (o mesurables) y aleatorios.

Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Las técnicas de conteo son aquellos principios que se usan para contar resultados que no se conocen y son muy extensos.

OBJETIVOS GENERALES

Comprender e interiorizar los tipos de distribuciones de probabilidad que existen, sus características, sus parámetros y los campos de aplicación que tienen dichas distribuciones.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

• Definir variable aleatoria.

• Definir variable aleatoria discreta y continua.

• Definir función de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

• Definir función de densidad de una variable aleatoria continua.

• Obtener probabilidades de eventos haciendo uso de la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

• Establecer las propiedades de la función de distribución de probabilidad acumulada de una variable aleatoria discreta.

• Obtener y graficar la función de probabilidad acumulada de una variable aleatoria discreta, dada su función de probabilidad.

• Obtener y graficar la función de distribución acumulada de una variable aleatoria continúa.

• Obtener probabilidades de eventos que involucren variables aleatorias discretas o continuas, haciendo uso de su función de distribución

DESARROLLO DEL TRABAJO

1. El rango de la variable aleatoria X es [0, 1, 2, 3, x], donde x es una incógnita. Si cada valor es igualmente probable y la media de X es 6, calcule x.

Rta:

Dicen que la media de X es 6,:

media=xi/n

(0+1+2+3+x)/5 = 6

6+x=30

x=24

entonces X=(0,1,2,3,24)

2. Sea X una variable aleatoria discreta. Determine el valor de k para que la función f (x) = k / x, x = 1, 2, 3, 4, sea la función de probabilidad de X. Determine además .

Rta.

Si es función de probabilidad la suma ha de ser 1.

f(1) + f/2) + f(3) + f(4) = 1

k/1 + k/2 + k/3 + k/4 = 1

k(1+1/2+1/3`1/4) = 1

k • 25/12 = 1

k = 12/25

= P(X=1) + P(X= 2) + P(X=3) = 12/25 • 1 + 12/25 • 1/2 + 12/25•1/3 = 12/25 ( 1+1/2+1/3) = 12/25 • 11/6 = 22/25 = 88/100 = 0.88

O también

P(1<= X <= 3) = 1 – P(X=4) = 1- 12/25 •1/ 4 = 22/25 = 0.88

3. Según los registros universitarios fracasa el 5% de los alumnos de cierto curso. ¿cuál es la probabilidad de que de 6 estudiantes seleccionados al azar, menos de 3 hayan fracasado?

Rta.

P(menos de 3 fracasos)= P(ningún fracaso)+P(un fracaso)+P(2 fracasos)=

(95/100)^6 + 6C1•(5/100)• (95/100)^5 + 6C2• (5/100)²•(95/100)^4 =0,997770

4. Los clientes llegan a una exhibición a razón de 6,8 clientes /hora Calcule la probabilidad de que a) en la primera media hora por lo menos lleguen dos clientes; b) en cualquier hora dada llegue mas de uno.

Rta.

Aquí también aplicaremos la distribución de Poisson.

Si en una hora el promedio de clientes que llegan la exhibición es de 6,8, el promedio de clientes en media hora será 6,8/2 = 3,4 clientes = λ

a)

Definamos a la variable aleatoria x : “Cantidad de clientes que llegan a la exhibición en media hora"

P (x=ó>2) = 1 - P (x=ó<1) = 1 - [P (x=0) + P (x=1)]

P (x) = λ^x * e^-λ / x!

P (x=0) = 3,4^0 * e^-3,4 / 0! = 1 * 0,13533528323661269189399949497256 / 1 = 0,1353

P (x=1) = 3,4^1 * e^-3,4 / 1! = 3,4 * 0,13533528323661269189399949497256 / 1 = 0,4601

P (x=ó>2) = 1 - [P (x=0) + P (x=1)] = 1 - (0,1353 + 0,4601) = 1 - 0,5954 = 0,4045 = 40,45%

b)

λ = 6,8

P (en cualquier hora dada llegue mas de uno) = P (en cualquier hora dada por lo menos lleguen dos clientes)

Definamos a la variable aleatoria x : “Cantidad de clientes que llegan a la exhibición

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