Concepciones clásicas de la noción del problema

INTRODUCCIÓN

TEMA DEL ESTUDIO

Un alumno no hace matemáticas si no plantea y no resuelve problemas. Todo mundo está de acuerdo con lo anterior. Las dificultades comienzan cuando se trata de saber cuáles problemas él debe plantearse, quién los plantea y cómo.

Concepciones clásicas de la noción del problema

Para simplificar estas dificultades, parece que los especialistas en didáctica de las matemáticas ensayan, desde hace algún tiempo, proyectar la colección de problemas imaginables sobre un sub-espacio producto de los componentes siguientes:

1. Las intenciones metodológicas del profesor:

Es la componente descrita al principio del "libro del problema" de Glaeser y de sus colaboradores (problemas de investigación, de entrenamiento, de introducción, etc.).

2. Las intenciones didácticas y los Objetivos (por ejemplo los de Bloom):

Adquisiciones de conocimientos, mejor comprensión, análisis, etc.

3. El contenido matemático:

Casi siempre la cuestión consiste en requerir del alumno el establecer una fórmula verdadera dentro de una teoría en curso de estudio. El contenido de un problema es entonces a priori definible como una pareja (T, f); siendo T una teoría supuesta explicitada en el curso y f la fórmula a encontrar, a establecer o a colocar los problemas unos con relación a otros, a condición de tener una axiomática conveniente de la teoría por enseñar: las discusiones sobre la selección de la mejor axiomática sustentan la mayor parte de las investigaciones sobre los programas desde hace años. "La mejor axiomática" sería aquella que permitiría con el mínimo esfuerzo de aprendizaje o enseñanza, engendrar la colección de los teoremas-problemas, de examen o de control, fijados por un consenso social.

Es necesario prever varias teorías particulares que uno relacionará enseguida (tendencia "clásica"), o una teoría unitaria general de la cual uno deduce las otras, (¿tendencia "moderna"?). ¿Hacen falta muchos axiomas débiles y bien ordenados (Dieudonné: Álgebra Lineal y Geometría Elemental)? ¿Pocos axiomas potentes (Choquet: La enseñanza de la Geometría)? ¿Axiomas "evidentes" o axiomas "muy elaborados"?

En la ausencia de una teoría del conocimiento apoyándose sobre una teoría pertinente del aprendizaje, las discusiones no han dado jamás lugar a estudios experimentales científicos.

Esta concepción permite, por otra parte, distinguir dos cosas: La pareja (T , f) que caracteriza al problema, y la demostración de T a f, la cual puede ser el objeto de un estudio matemático o metamatemático. Y esta distinción va a servir de base a una nueva descomposición del contenido matemático, siguiendo dos criterios diferentes, pero vecinos:

• El dominio de aplicación: (la teoría T), opuesto a la "estructura" matemática o lógica que opera sobre T.

• El modelo matemático (en el sentido de los logicistas), opuesto al lenguaje.

Estos pares de caracteres opuestos corresponden a los rasgos distintivos sobre los cuales los profesores se apoyan espontáneamente: abstracto -

concreto, contenido formal, teóricopráctico, etc., pero su puesta en obra no ha proporcionado jamás ni tipologías utilizables ni índices objetivos.

4. Componentes metamatemáticos:

De hecho, todas las tentativas de descripciones racionales y formales de las matemáticas son utilizadas para tratar de construir variables intermedias que, sin ser el contenido mismo, permitirán engendrarlo a menor costo.

La concepción de los problemas sobre la forma T a f conduce frecuentemente a asimilar las hipótesis a lo que es conocido, las conclusiones a lo que se busca (o a la inversa) y la resolución a un camino que coincidiría fácilmente con la demostración buscada. Ciertas demostraciones pueden ser obtenidas, sin mucha reflexión, por la aplicación de una sucesión finita de especificaciones conocidas de antemano: existe entonces un algoritmo, autómata productor de la demostración particular buscada.

En este caso, puede hacerse la descripción, clásica y maravillosamente simple y gratificante para el profesor, de la actividad cognitiva del alumno, del aprendizaje y del rol del que enseña.

El maestro enseña al alumno, quien lo memoriza, el algoritmo que permite establecer los teoremas.

5. La componente heurística:

Pero para otras demostraciones, no existen tales algoritmos. Para no renunciar al modelo de adquisición precedente, uno va a imaginar que la demostración puede ser conducida por "intuiciones" que jugarán un poco el papel de los algoritmos. Estas intuiciones podrán ser racionalizadas localmente, una vez que la puesta en obra de una teoría ya constituída proporcione la demostración buscada o una parte de ésta (uno aplicará un teorema) – la selección de las teorías o de las estructuras estando igualmente guiada por heurísticas, que uno puede, después, invocar para justificar el procedimiento seguido. A pesar de su carácter un poco ad hoc, estos conceptos no son faltos de interés, como lo muestran en este encuentro (ref. a la CIEAEM, 1976) las exposiciones de G. Glaeser, de G. Paquette, M. Ciosek, F. Wilson, de C. Janvier, etc..

Crítica de estas concepciones

Yo contesto la validez de tal descomposición clasificatoria, a pesar de las facilidades que procura, porque conduce a aceptar presupuestos lamentables, separando los elementos que funcionan juntos.

1. El sujeto:

El sujeto - el alumno- está ausente de este análisis, donde no aparece más que como un receptor, un registrador extremadamente simplificado que el saber adquirido no modifica sensiblemente ni, sobre todo, estructuralmente.

2. La significación y el sentido:

De la misma forma, y por vía de consecuencia, la significación de la matemática desaparece: todo lo que hace, no solamente la verdad, sino el interés de un teorema y con eso, lo que F. Ganseth llamaba el carácter idóneo (idoneidad) de un conocimiento matemático, lo que hace que este conocimiento exista como solución óptima dentro del campo definido por un cierto número de restricciones (relativas al sujeto conociente o al conocimiento mismo),

lo que hace de él un objeto en el sentido de R. Thom, una solución a un problema y en fin, lo que dice el interés del problema mismo.

El sentido de un conocimiento matemático se define - no solamente por la colección de situaciones donde este conocimiento es realizado en tanto que teoría matemática (semántica en el sentido de Carnap) – no solamente por la colección de situaciones donde el sujeto la ha encontrado como medio de solución, sino también por el conjunto de concepciones, de elecciones anteriores que rechaza, de los errores que evita (yo agregaría: las economías que procura, las formulaciones que retoma y muchas otras cosas que forman también parte de su sentido.)

3. El aprendizaje:

La construcción axiomática sugiere también un aprendizaje férico donde el volumen de conocimientos inmediatamente adquiridos, estructurados, utilizables y transferibles – se infla en un espacio virgen. Pero...

• Una noción aprendida no es utilizable más que en la medida en que ella está relacionada a otras; estas relaciones constituyen su significación, su etiqueta, su método de activación.

• Pero ella no es aprehendida más que en la medida en la que ella es utilizable y utilizada efectivamente, es decir, solamente si ella es una solución del problema. Estos problemas, conjunto de restricciones a las cuales responde, constituyen la significación de la noción. Ella no es aprendida más que si ella "tiene éxito" y hace falta, por tanto, un territorio de puesta en práctica. Este territorio no es más que raramente general y definitivo.

• Del hecho de este empleo localizado, la noción recibe particularizaciones, limitaciones, deformaciones del lenguaje y de sentido: - si esta concepción particular de la noción es inmediatamente eliminada por otra más económica, o más general, o menos falsa, ella no es aprendida y no puede servir para crear el sentido de las adquisiciones posteriores.

• Si tiene éxito suficientemente bien y por un tiempo suficiente, toma un valor, una consistencia, una significación, un desarrollo que hacen cada vez más difícil su modificación, su reconsideración, su generalización o su rechazo: se convierte a la vez, para las adquisiciones posteriores, en obstáculo pero también un punto de apoyo. Esto muestra:

• Por qué el aprendizaje no puede hacerse según el esquema clásico de la adquisición progresiva y continua (tal que para toda adquisición existe una sucesión finita de adquisiciones que aportan, cada una, una cantidad de información tan pequeña como se quiera y como le sea equivalente).

• Por qué la confusión entre algoritmo y establecimiento de una fórmula y algoritmo de adquisición de un saber está desprovista de fundamento.

4. Algoritmo y razonamiento:

He estudiado sobre varios ejemplos, todas las consecuencias nefastas de esta confusión sobre el aprendizaje de las operaciones en N .

Enseñando por los mismos procedimientos, a la misma edad, tanto una teoría sofisticada, la de probabilidades y de estadísticas, como esos pretendidos "mecanismos" de operación, creo haber mostrado que esta separación entre mecanismo y razonamiento no

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