DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS DISCRETAS

DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS DISCRETAS

Definición de variables aleatorias

Una variable aleatoria (v.a.) es un número real asociado al resultado de un experimento aleatorio, es decir, una función real en el espacio muestral, X:Ω→ℜ

Los valores de la variable aleatoria se notarán con letras minúsculas x en este caso.

Ejemplos de v.a.

Supongamos un experimento aleatorio consistente en lanzar dos dados al aire. Bajo este experimento lo siguiente sería v.a:

1. Sea X la v.a. suma de los valores de los dados donde X puede tomar valores x=2,3,4,…,12.

2. Sea Y la v.a número de pares en los dados donde Y puede tomar los valores y=0,1,2.

3. Sea Z la v.a número de impares en los dados donde Z puede tomar los valores z=0,1,2.

Variables aleatorias discretas

Se dice que una v.a. es discreta si el conjunto de todos los valores que puede tomar es un conjunto numerable.

Ejemplo 1:

– Número de caras al lanzar dos dados.

– Número de cifras acertadas en un sorteo de la lotería.

Ejemplo 2: Sea el experimento lanzar tres monedas, y sea X v.a. número de caras. Calcular su función masa de probabilidad y su función de distribución.

Ejemplo 3: Sea el experimento sacar 2 bolas de una urna que contiene 2 bolas blancas y 3 bolas rojas, y sea Y v.a. número de bolas rojas. Calcular su función masa de probabilidad y su función de distribución.

Distribuciones de variables discretas

Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de X finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

F(x) = P( X \le x ) = \sum_{k=-\infty}^x f(k)

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde -\infty hasta el valor x.

Distribución probabilística Binomial

La distribución binomial es típica de las variables que proceden de un experimento que cumple las siguientes condiciones:

1) El experimento está compuesto de n pruebas iguales, siendo n un número natural fijo.

2) Cada prueba resulta en un suceso que cumple las propiedades de la variable binómica o de Bernouilli, es decir, sólo existen dos posibles resultados, mutuamente excluyentes, que se denominan generalmente como éxito y fracaso.

3) La probabilidad del ‚éxito (o del fracaso) es constante en todas las pruebas. P (éxito) = p ; P(fracaso) = 1 - p = q

4) Las pruebas son estadísticamente independientes,

En estas condiciones, la variable aleatoria X que cuenta el número de ‚éxitos en las pruebas se llama variable binomial. Evidentemente, el espacio muestral estar compuesto por los números enteros del 0 al n. Se suele decir que una variable binómica cuenta objetos de un tipo determinado en un muestreo de n elementos con reemplazamiento.

La función de probabilidad de la variable binomial se representa como b(x,n,p) siendo n el número de pruebas y p la probabilidad del ‚éxito. n y p son los parámetros de la distribución.

Ejemplo:

Antes teníamos Bin 7; 1 6 , y queríamos calcular p(X=3) (obtener 3 éxitos). Aplicando la fórmula:

p(X = 3) = 7 3 · 1 6 3 · 5 6 4 = 0 0781

Como elaborar una distribución Binomial

La manera más fácil de calcular de valor de números combinatorios, como los incluidos en la expresión anterior, es utilizando el triángulo de Tartaglia.

Ejemplo:

Supongamos que la probabilidad de que una pareja tenga un hijo o una hija es igual. Calcular la probabilidad de que una familia con 6 descendientes tenga 2 hijos.

En este caso Éxito = E = “tener hijo” y p(E) = 0’5. ´

Fracaso = F = “tener hija” y p(F) = 0’5.

Estamos por tanto ante una binomial Bin(6;0’5) y nos piden p(X=2).

Si aplicamos la fórmula es:

p(X = 2) = 6 2 · (0 5)2 · (0 5)4 = 0 2344

Uso de tablas de probabilidad Binomial

La distribución binomial se encuentra tabulada por lo que es fácil calcular probabilidades sin necesidad de hacer demasiadas cuentas. Para usar las tablas de la distribución binomial es necesario conocer:

-El número de veces que se realiza el experimento (n).

- La probabilidad de éxito (p).

- El número de éxitos (k).

La probabilidad p se busca en la primera fila (valores desde 0’01 hasta 0’5). El número de veces que se realiza el experimento, en la primera columna (valores desde 2 a 10) y el número de éxitos a su lado.

Ejemplo:

La probabilidad de que un alumno de 2º de Bachillerato apruebe las Matemáticas es de 0’7. Si consideramos un grupo de 8 alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que cinco de ellos aprueben las Matemáticas?.

Si éxito = “aprobar” y fracaso = “suspender”, entonces p = 0’7 y q = 0’3.

Tenemos, por tanto, una Bin (8;0’7).

Nos piden calcular p(X=5), que no se puede calcular mediante las tablas porque p = 0’7 y sólo tenemos hasta p = 0’5. Por tanto si intercambiamos éxito = “suspender” y fracaso =“aprobar” entonces p = 0’3, q = 0’7, es decir la nueva binomial es Bin(8;0’3) y nos piden que aprueben 5 de 8, es decir que suspendan 3 de 8 o lo que es lo mismo, que tengamos 3 éxitos, p(X=3), y buscando

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