DISTRIBUCIONES DISCRETAS CONOCIDAS EEII(2).
Enviado por Manuel Andres Avalos • 4 de Enero de 2016 • Apuntes • 1.573 Palabras (7 Páginas) • 162 Visitas
Distribuciones Discretas conocidas
Distribución de Bernoulli
Definición.
Si la probabilidad de que ocurra un suceso es “p” y la probabilidad de que no ocurra es q = 1-p, entonces la probabilidad que la variable aleatoria X se distribuye según una distribución de Bernoulli y su función de cuantía es:
[pic 1] [pic 2]
Parámetro. P
La esperanza = E(x) = p
Varianza de x V(x) = pq donde q = 1-p
[pic 3]
[pic 4], como[pic 5]calculamos [pic 6]
Luego [pic 7]
La distribución de Bernoulli, conocida también como prueba de Bernoulli es un experimento que tiene solo dos resultados posibles a los cuales se les llama éxito (p) y fracaso (q = 1-p)
La función de distribución estará dada por [pic 8]
[pic 9][pic 10]
[pic 11]
El ensayo de Bernoulli va a generar a las distribuciones binomial, geométrica, Pascal, hipergeométrica y la de Poisson.
Distribución Binomial
A menudo estamos interesados solamente en el número total de éxitos “E” obtenidos en un proceso de n ensayos de Bernoulli, al margen del orden en que se presentan. Definimos una variable aleatoria X como:
[pic 12]Números de éxitos obtenidos en ensayos de Bernoulli.
[pic 13]
La variable aleatoria X así definida se llama variable aleatoria Binomial.
La distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X, se llama distribución binomial y se denota por [pic 14]
Luego la función de cuantía de la variable aleatoria [pic 15] es
[pic 16]
Nota.
n : Nº de ensayos. Parámetros: n y p
Observemos que:
a) [pic 17]
b) [pic 18]
[pic 19]
Nota:
La extracción de una muestra de n elementos de una población puede considerarse como un experimento que consiste de n ensayos repetidos. Los n ensayos o selecciones serán independientes en los siguientes casos:
Cuando los elementos se extraen de la muestra se extraen con o sin reemplazo de una población infinita
Cuando los elementos de la muestra se extraen con reemplazamiento en una población finita
Esperanza y varianza de la variable binominal
[pic 20]
[pic 21]
¿Cómo reconocer que un experimento aleatorio se trata de una distribución Binomial?.
- Si se realizan “n” pruebas y todas las pruebas son independientes.
- “p” es la probabilidad de éxito en cada prueba que ocurra un suceso
- El experimento se repite (sustitución o reemplazamiento)
- Se da el valor de la variable , X = Nº de éxitos , Rx = 0,1,2,……n
Ejemplo
Una máquina produce ciertos tipos de piezas, de las cuales el 5% son defectuosas. En una muestra aleatoria de cinco piezas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener
- Exactamente una pieza defectuosas?
- Que más de 2 piezas sean defectuosas?
- Que al menos dos de las piezas pero menos de 5 sean defectuosas?
Solución
La probabilidad que cada piza defectuosa es 0,05
El experimento se repite
Se da la variable aleatoria X(w) = cuenta el nº de piezas defectuosas en la muestra
[pic 22]
Luego[pic 23]
y su modelo probabilidades es [pic 24]
- [pic 25]
- [pic 26]
[pic 27]
- [pic 28]
[pic 29]
Distribución Hipergeométrica
Consideremos una población finita de N elementos, divididos en dos clases. Una con r-elementos
y la otra con N-r elementos. Llamaremos “éxito” a la primera clase y “fracaso” a la segunda clase. Es decir la población está compuesta por r “éxitos” y N- r “fracasos”
Consideremos el siguiente experimento, “extraer una muestra de tamaño n sin reemplazamiento de una
población finita de N elementos”. Cada extracción tiene solamente dos resultados posibles E o F. El
resultado de una observación es afectado por los resultados de las observaciones previas, es decir los
resultados de los ensayos no son independientes y la probabilidad de éxito P(E) no es constante de
ensayo a ensayo. El experimento así definido se llama experimento Hipergeométrico
Definimos la variable aleatoria X de la siguiente manera,
X(w)= Nº de éxito en la muestra de tamaño n sin reemplazo
[pic 30]
La variable aleatoria así definida recibe el nombre de variable aleatoria Hipergeométrica. Y la distribución
de probabilidad de la variable Hipergeométrica, se llama distribución Hipergeométrica y su función de
probabilidad está dada por
[pic 31]
Donde:
N es el tamaño de la población
r es el número de éxitos en la población
n es el tamaño de la muestra
x el número de éxito en la muestra
Ejemplo
Un empresa metalmecánica PYME de 20 trabajadores 6 trabajadores son jornales y el resto son maestros especializados. El dueño de la empres debe elegir 5 trabajadores sin reemplazo para un curso de seguridad laboral. ¿Cuál es la probabilidad que:
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