Ejercicios De Probabilidad

1. Un estudiante responde al azar cuatro preguntas de verdadero o falso. Escriba el espacio muestral de este experimento aleatorio

a) Escriba el espacio muestral.

b) Escriba el suceso responder “falso” a una sola pregunta.

c) Escriba el suceso responder “verdadero” al menos a 3 preguntas.

d) Escriba la unión de estos dos sucesos, la intersección y la diferencia del 2º y el 1º.

2. Una rata es colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y blanco. Si pulsa dos veces las palancas al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos veces pulse la roja?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que pulse la primera vez o la segunda o ambas la tecla azul?

3. En una asignatura se ha decidido aprobar a aquellos que superen uno de los dos parciales. Con este criterio aprobó el 80%, sabiendo que el primer parcial lo superó el 60% y el segundo el 50% ¿Cuál hubiese sido el porcentaje de aprobados, si se hubiese exigido superar ambos parciales?

Solución del 1 guía

a) Con la misma convención del problema anterior, los sucesos elementales serían:

(V, V, V, V) (V, V, V, F) (V, V, F, V) (V, F, V, V)

(F, V, V, V) (V, V, F, F) (V, F, V, F) (V, F, F, V)

(F, V, V, F) (F, V, F, V) (F, F, V, V) (V, F, F, F)

(F, V, F, F) (F, F, V, F) (F, F, F, V) (F, F, F, F)

b) El Suceso responder falso a una sola pregunta será el subconjunto del espacio muestral formado por todos los sucesos elementales en que solo hay una respuesta falso, lo llamaremos A y será:

A = {(V, V, V, F) È (V, V, F, V) È (V, F, V, V) È (F, V, V, V)}

c) El suceso responder verdadero al menos a 3 preguntas, lo llamaremos B y será:

B = {(V, V, V, F) È (V, V, F, V) È (V, F, V, V) È (F, V, V, V) È (V, V, V, V)}

d) Observando los sucesos elementales que los componen se deducen inmediatamente los siguientes resultados:

A È B = B A Ç B = A B- A = {(V, V, V, V)}2

Solución del 2 guía

a) Para que las dos veces pulse la roja tiene que ocurrir que la primera vez pulse la roja y la segunda también pulse la roja, es decir que se verifique el suceso (R1 Ç R2).

Ahora bien, como ambos sucesos son independientes, la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidades de ambos sucesos. La probabilidad de estos sucesos se determina mediante la regla de Laplace de casos favorables (uno), partido por casos posibles (tres)

P(R1 Ç R2) = P(R1) • P(R2) = 1/3 • 1/3 = 1/9

b) En este apartado, claramente, nos piden la probabilidad de la unión de los sucesos pulsar azul la primera vez y pulsar azul la segunda. Ahora bien, estos dos sucesos no son incompatibles, luego la probabilidad de la unión será igual a la suma de las probabilidades menos la probabilidad de la intersección. La probabilidad de la intersección, al igual que en el apartado anterior, se calcula basándonos en el hecho de que son independientes.

P(A1 È A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 Ç A2) = 1/3 + 1/3 – 1/9 = 5/9

Solución del 3 guía

Sea A1 el suceso aprobar el primer parcial y A2 aprobar el segundo. Los datos del problema nos dicen que:

P(A1 È A2) = 0,8 P(A1) = 0,6 P(A2) = 0,5

Y se pide la probabilidad de la intersección de ambos sucesos. Como A1 y A2 no son incompatibles, la probabilidad de la unión será: P(A1 È A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 Ç A2)

Despejando tenemos: P(A1 Ç A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 È A2)

Sustituyendo los valores numéricos: P(A1 Ç A2) = 0,6 + 0,5 – 0,8 = 0,3

La conclusión es que si se hubiese exigido aprobar los dos parciales el porcentaje de aprobados hubiese sido del 30%.

12. Cada pregunta de un examen tiene dos respuestas alternativas de las que sólo una es correcta. Un alumno contesta al azar un examen de este tipo con tres preguntas.

a) Construya un espacio muestral adecuado a esta experiencia.

b) Calcule p(B), p(A Ç B), p(C), p(B È C), siendo A, B y C los siguientes sucesos:

A = “El alumno contesta correctamente la primera pregunta”

B = “El alumno contesta correctamente dos de las tres preguntas”

C = “El alumno contesta correctamente las tres preguntas”.

Solución

Vamos a designar por a el acierto, es decir contestar correctamente una pregunta y por f el fallo, el decir su contrario. El espacio muestral tiene 8 elementos: E = {(aaa), (aaf), (afa), (aff), (faa), (faf), (ffa), (fff)} p(B) = 4/8 = 1/2; p(A ∩ B) = 3/8; p(C) = 1/8; p(B ∪ C) = p(B) = 1/2, pues C ⊂ B

8. En una determinada población, el 70% son aficionados al fútbol, el 60% al tenis y el 65% al baloncesto. El 45% lo son al fútbol y al tenis, el 40% al tenis y al baloncesto y el 50% al futbol y al baloncesto, mientras que el 30% lo son a los tres deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo escogido al azar no sea aficionado a ninguno de los tres deportes?

Solución

Pasamos al contrario, es decir calculamos en primer lugar la probabilidad de que sea aficionado al menos a uno de los tres.

p( FÈTÈB) = 0,70 + 0,60 + 0,65 - 0,45 - 0,40 - 0,50 + 0,30 = 0,90

Por lo tanto p(“no

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