Enseñanza De La Aritmetica

Desarrollo histórico de la enseñanza de la Aritmética: el caso de los algoritmos de cálculo

Bernardo Gómez Alfonso

Departamento de Didáctica de la Matemática. Universitat de València

Introducción

La enseñanza de los algoritmos de cálculo aritméticos ni es inmutable, ni ha estado siempre bajo la misma filosofía, ni bajo la misma manera de presentación. En su evolución a lo largo de su historia reflejada en los libros de texto se distinguen, a muy grandes rasgos, cinco métodos predominantes de presentación, estos son: el reglado, el razonado, el de repeticiones, el intuitivo y el orientado a la estructura.

El propósito de este artículo es describir los rasgos característicos de estos métodos y, fundamentándose en ello, hacer una propuesta de futuro.

Desarrollo histórico de la enseñanza del cálculo aritmético

Conocer el desarrollo histórico de la enseñanza del cálculo puede proporcionar una base sólida desde la cual concebir cualquier nueva propuesta docente. Para evitar dar un salto en el vacío las propuestas hay que fundamentarlas en el marco de la ciencia, de las necesidades sociales y de las teorías psicopedagógicas; pero, además, es necesario mirar el pasado para aprovechar lo que en él había de valioso y rechazar lo que, visto desde hoy, hay de obsoleto. Para arrojar luz en este sentido, haremos un breve bosquejo de cómo se ha configurado a lo largo de la historia la enseñanza de un saber al que se le dedica la mayor parte del tiempo escolar y que ha tenido desde siempre un espacio asegurado en el curriculum.

El método de reglas

La aritmética hindú y árabe supuso el desarrollo del cálculo. En una época en que no había calculadoras, ésta tenía un nivel de exigencia que hoy consideraríamos excesivo. Un buen calculista no sólo tenía que saber calcular bien sino que tenía que hacerlo lo más rápido posible. Esto explicaría el empeño que tuvieron los autores antiguos en desarrollar los métodos más

cómodos, simples, seguros y breves posibles. Por eso, aportaron una gran variedad de métodos para el cálculo aritmético, que son el resultado del deseo de ahorrar tarea, aliviar la dificultad, evitar errores, comprobar resultados, ser rápidos, o sencillamente utilizar el camino más corto que no el innecesariamente más largo, porque en matemáticas siempre se ha considerado que esto es más elegante y brillante.

Desde entonces los métodos de cálculo derivados del sistema de numeración decimal están esencialmente configurados como los conocemos hoy en día.

En el largo período que llega hasta el final del siglo XVIII, la tónica dominante consistía en presentar de modo reglado los métodos de cálculo sobre ejemplos ilustrativos; llama la atención la ausencia de argumentaciones que se parezcan a lo que hoy entendemos por fundamentación; coexisten unos junto a los otros los algoritmos generales con los particulares y los más populares con los menos conocidos. Se daba mucha importancia a las pruebas de las operaciones tales como "la del nueve". Esto era debido a que tradicionalmente el cálculo era con ábacos, tableros cubiertos con polvo, sábanas con harina, etc., en ellos los resultados intermedios se borraban y era imposible repasar la operación, por lo que era necesario efectuar la prueba.

El método razonado

En los comienzos del siglo XIX se produce el establecimiento de un curriculum obligatorio común para los estudiantes de un mismo nivel educativo. Esto se plasmó en una propuesta de enseñanza para los niños en la que se incluía la aritmética. De esta época destacan tres novedades importantes: la primera es el deseo de poner de manifiesto la lógica de las reglas de cálculo y el análisis de los motivos que la sustentan; la segunda es la inclusión en el texto de sugerencias para los profesores; la tercera es un programa dividido en lecciones, las cuales encierran cada una lo que es posible presentar en una sola sesión y no conviene separar en trozos (Condorcet, 1799).

A lo largo de los textos que siguen este método no hay demostraciones, en el sentido formal, sino reglas con su justificación correspondiente, practicándose esas reglas con ejemplos concretos. En los prólogos se suelen dar orientaciones para la enseñanza que, por ejemplo en el caso de Vallejo (1813), preconizan la comprensión del concepto de número por el niño, el aprendizaje comprensivo del sistema de numeración, y el uso de material didáctico. Prescripciones éstas

muy avanzadas para su época ya que tratan de tener en cuenta, en términos generales, la formación intelectual y las capacidades de los escolares (Gómez, Rico y Sierra, 1995).

En definitiva se defiende que la enseñanza de la aritmética debe ser razonada, lo que significa que los alumnos deben poseer el conocimiento y la explicación de los principios de la Aritmética. En otras palabras, no hay que callar el porqué de las reglas, sino explicar su lógica y hacer el analisis de los motivos que las sustentan.

El método de las repeticiones

En los años 20, la enseñanza de la aritmética está dominada por el el método de las repeticiones. En ese método, el aprendizaje era mecánico, los temas se presentaban como una secuencia de pequeños pasos y no como una totalidad, y la atención se dirigía a estos pasos o elementos del proceso, antes que a comprender los principios aritméticos y las relaciones propias del proceso en su totalidad.

Se seguían las directrices marcadas por Thorndike (1924) en su Aritmética acerca de la formación de automatismos, éstos se refieren sobre todo a los procedimientos de cálculo. Según extraemos de Eyalar (1935), calcular ha de ser primero un automatismo para que la atención pueda quedar libre en la persecución de la solución del problema planteado, y sobre todo para que las operaciones se realicen con la misma rapidez y exactitud con que lo haría una máquina de calcular. Junto a esto apenas si tiene relieve el aprendizaje de definiciones, reglas

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