LA TEORIA ANTROPOLOGICA DE LO DIDACTICO

PROCESO DE INSTITUCIONALIZACIÓN DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS

LA COMPRENSIÓN SEGÚN SFARD

Anna Sfard (1991) estudia el problema de la comprensión en las matemáticas y se apoya en la teoría de Piaget. La trasposición a la didáctica que hace Sfard de los conceptos de interiorización, condensación y encapsulación de Piaget tiene el mérito de poner en evidencia dos maneras de concebir los objetos matemáticos y se vuelve operativa cuando permite explicar las causas de las limitaciones de las concepciones (esquemas conceptuales en la teoría de Piaget) para alcanzar ciertos conceptos o realizaciones matemáticas.

Concepto matemático y Concepciones

En primer lugar, Sfard considera fundamental diferenciar el término “concepto” del término “concepción”: La palabra “concepto” (algunas veces reemplazada por “noción”), será mencionada cuando una idea matemática está considerada en su forma “oficial”−como un constructo teórico dentro de “el universo formal del conocimiento ideal”−; el grupo total de representaciones y asociaciones internas evocadas por el concepto −la contraparte del concepto en el interior y subjetivo “universo del conocimiento humano”− será llamada una concepción”. (Sfard, 1991. p. 3)

Esta precisión permite diferenciar el conocimiento matemático, que se comparte socialmente y que es objeto de transformaciones para ubicarlo como un saber escolar que será el objeto de enseñanza, de aquel conocimiento subjetivo (y por tanto idiosincrásico) que los alumnos asocian al conocimiento oficial. Así pues, según Sfard, de un concepto matemático poseemos una concepción.

Tal concepción, es la que “vive” en la mente y dependerá de las experiencias que han permitido establecer cierta relación personal con todo aquello, que desde la perspectiva del sujeto, se relaciona con el concepto. Es de suponer que esta concepción está sujeta a cambios, dependiendo de las diferentes y continuas interacciones entre el sujeto y las situaciones asociadas al concepto.

Desde la perspectiva de Sfard, la comprensión exige mucho más que ejecutar procesos y aplicar resultados matemáticos. Para ella “la comprensión es un proceso constructivo” que implica establecer un vínculo entre acciones sobre objetos familiares y representaciones internas de la acción, dando lugar a la construcción de una estructura interna asociada a los signos y significados matemáticos externos, en contextos que son objeto de la acción del sujeto y objeto de aprendizaje. Este vínculo se expresa en una estructura que organiza, regula y controla el comportamiento intelectual frente a situaciones y problemas matemáticos

En la construcción de tal estructura interviene un mecanismo trifásico: interiorización condensación-cosificación que es el responsable de esta labor constructiva. Los objetos de la acción pueden ser un material concreto o situaciones que se representan en significantes (signos).

El término interiorización es usado por Sfard en el mismo sentido como el dado por Piaget: proceso de representación interna de eventos externos de tal manera que para evocarlos no se requiere de su realización actual. La interiorización implica una nueva construcción de aquello que ya vive como proceso de acción y por ello es la reconstrucción del esquema de acción en un esquema operatorio o conceptual.

En el nuevo plano el proceso “se puede llevar a cabo usando representaciones mentales” siendo éstas representaciones instrumentos más potentes porque son formas generales, reversibles y coordinables entre sí en un nuevo espacio diferente a aquel de la experiencia física

Aspecto dual de los objetos matemáticos

Para Sfard, existen dos formas concebir un concepto: como proceso (concepción operacional) y como objeto (concepción estructural): “Concebir una noción como un proceso implica considerarla como una entidad potencial más que como entidad actual, que viene a nuestra existencia interior en petición de una secuencia de acciones…la concepción operacional es dinámica, secuencial y detallada”. (Sfard, 1991, p. 4).

En tanto que “Concebir una entidad matemática como un objeto, significa referirse a ella como si fuera una cosa real-una estructura estática, que existe en alguna parte en el espacio y en el tiempo-. Significa también ser capaz de reconocer la idea “con una mirada” y manipularla como una totalidad sin entrar en detalles. (Sfard, 1991, p.4)

Aunque estas dos formas de concebir un concepto dan la impresión de ser incompatibles, según Sfard, son complementarias; algo que permitiría decir que en el aprendizaje efectivo, estas dos formas de concebir se enlazan hasta alcanzar un nivel de comprensión ideal.

El siguiente cuadro (Sfard, 1991) muestra un resumen de las características de cada una de las concepciones de un concepto.

En la tabla que se muestra a continuación, se da una interpretación de las concepciones estructural (como objeto) y operacional (como proceso) en dos ejemplos particulares.

Para Sfard, la concepción operacional precede a la estructural, aunque acepta que la influencia externa de la estrategia de enseñanza puede influir en el resultado del aprendizaje, también afirma que: “existen ciertas características constantes que son inmunes a cambios en los estímulos externos” (Sfard, 1991) y una de ellas es… “la precedencia de lo operacional sobre lo estructural”. (Sfard, 1991)

Esta hipótesis de Sfard en el desarrollo de la teoría de la comprensión, es un detalle con el que algunos investigadores no están del todo de acuerdo. Lo que sí es claro, es que si el estado de concepción de un concepto se encuentra sólo en el estado operacional, la evolución de la comprensión se encontrará en un estado “incipiente” −el estudiante no podrá afrontar con éxito la resolución de problemas.

A continuación se presenta un esquema que permite discriminar los distintos indicadores de concepción de un concepto como proceso o como objeto.

El mecanismo de la comprensión

Según Sfard, la comprensión de un concepto es un proceso que implica un mecanismo trifásico en el cual las entidades conceptuales se pueden ver como procesos u objetos según que estructuras más fuertes operen sobre ellos o éstas entidades sean las estructurantes de otras novedades.

Interiorización

Un proceso ha sido interiorizado

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