Problemas Sobre Markov

EJERCICIOS DE CADENAS DE MARKOV

1. Consideremos el siguiente modelo para el valor de una acción. Al final de un día dado se registra el precio y el que la acción suba o no mañana depende de si subió o no hoy y ayer. En particular, si la acción subió los dos días, la probabilidad de que suba mañana es 0.9. Si la acción subió hoy pero ayer bajo, mañana subirá con probabilidad 0.6. Si la acción bajo hoy pero ayer subió, entonces mañana subirá con probabilidad de 0.5. Por último, si bajo los dos días, la probabilidad de que suba mañana es de 0.3. Modele como un proceso markoviano identificando claramente los elementos y calcule el estado estable

Estado 0: la acción aumentó hoy y ayer.

Estado 1: la acción aumentó hoy y ayer bajó.

Estado 2: la acción bajó hoy y ayer aumentó.

Estado 3: la acción bajó hoy y ayer.

La figura muestra el diagrama de transición de estado del ejemplo.

En el diagrama de transición se observa que todos los estados son recurrentesdebido a que el proceso siempre regresará a cada uno de ellos.Para determinar que el estado es recurrente

2. Un fabricante de grabadoras esta tan seguro de su calidad que está ofreciendo garantía de reposición total si el aparato falla en dos años. Basándose en datos recopilados la compañía ha notado que solo el 1% de las grabadoras fallan durante el primer año y 4% durante el segundo año. La garantía no cubre grabadoras ya reemplazadas.

a. Modele el sistema como una cadena de Markov.

b. Cuál es la probabilidad que una grabadora nueva falle alguna vez.

3. Considere dos acciones. La acción A siempre se vende en 10$ ó 20$. Si la acción A se está vendiendo hoy en 10$, hay una probabilidad de 0.80 de que mañana se venda en 10$. Si hoy se está vendiendo en 20$, hay una probabilidad de 0.90 de que mañana se venda en 20$. La acción B siempre se vende en 10$ ó 25$. Si hoy la acción B se vende en 10$, hay una probabilidad de 0.90 de que mañana se venda en 10$. Si hoy se vende en 25$, hay una probabilidad de 0.85 de que mañana se venda en 25$.

Defina los estados y desarrolle la matriz de transición. En promedio. ¿Cuál acción se venderá en un precio más alto?

<ACCIONES 1>

P(10→10) = 0,80

P(20→20) = 0,90

Matriz estocástica M (ya transpuesta):

0,80 ... 0,1

0,20 ... 0,9

<ACCIONES 2>

P(10→10) = 0,90

P(25→25) = 0,85

Matriz estocástica M' (ya transpuesta):

0,90 ... 0,15

0,10 ... 0,85

PROBABILIDADES ESTACIONARIAS P(∞) = (x, y):

(M - I).P(∞) = 0

Para las acciones 1:

-0,2x + 0,1y = 0

x + y = 1

Solución: P(∞) = (x, y) = (1/3, 2/3)

Para las acciones 2:

-0,1x + 0,15y = 0

x + y = 1

Solución: P(∞) = (x, y) = (3/5, 2/5)

PRECIO PROMEDIO CON QUE SE VENDEN LAS ACCIONES

Acciones 1:

1/3 . 10 + 2/3 . 20 = 50/3 = 16,66 $

Acciones 2:

3/5 . 10 + 2/5 . 25 = 80/5 = 16 $

Por lo tanto, las acciones 1 se venden a mayor precio (por poco).

Suponga que una tienda emplea las siguientes categorías para sus cuentas por cobrar:

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