CONCEPTO Y CÁLCULO DE LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
Ramiro RomeroApuntes31 de Marzo de 2017
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[pic 1] | Unidad II Integración indefinida |
[pic 2]
En esta unidad se estudia la integral indefinida iniciando con la aplicación de las reglas para integrar las formas elementales ordinarias, y posteriormente aplicar los métodos de integración principales. Se remarca la importancia de este tema para desarrollar con detalle cada uno de los métodos y considerar esto para la evaluación.
Competencias específicas:
- Interpretar e identificar el concepto de diferencial.
- Interpretar la integral indefinida
- Identificar el método de integración más adecuado para resolver una integral indefinida.
- Calcular el valor de integrales indefinidas utilizando los modelos de las formas elementales directas.
- Calcular el valor de integrales aplicando los siguientes métodos:
- Cambio de variable.
- Integración por partes.
- Integrales trigonométricas.
- Sustitución trigonométrica.
- Fracciones parciales.
2.1 CONCEPTO Y CÁLCULO DE LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN.
En el curso de Cálculo Diferencial se aprendió que el símbolo para representar la derivada de una función es:
[pic 3]
Esta expresión no debe observarse como una simple fracción, sino como el valor del límite de una función, y recordar que este símbolo sí tiene propiedades de fracción, por lo que y podrán verse como dos elementos por separado. Este símbolo fue empleado como notación para la derivada por primera vez por el matemático alemán G. Wilhelm Leibniz, quien junto con Sir Isaac Newton, trabajando de manera independiente, dieron a conocer casi simultáneamente la derivada.[pic 4][pic 5]
Los modelos de derivadas que se trabajaron en el curso de Cálculo Diferencial se resumen en las tablas siguientes:
Fórmulas de Derivación Algebraicas | |||
1 | [pic 6] | 7 | [pic 7] |
2 | [pic 8] | 8 | [pic 9] |
3 | [pic 10] | 9 | [pic 11] |
4 | [pic 12] | 10 | [pic 13] |
5 | [pic 14] | 11 | [pic 15] |
6 | [pic 16] |
Fórmulas de Derivación logarítmicas y exponenciales | |||
12 | [pic 17] | 15 | [pic 18] |
13 | [pic 19] | 16 | [pic 20] |
14 | [pic 21] |
Fórmulas de Derivación de Funciones Trigonométricas | |||
17 | [pic 22] | 20 | [pic 23] |
18 | [pic 24] | 21 | [pic 25] |
19 | [pic 26] | 22 | [pic 27] |
Fórmulas de Derivación de Funciones Inversas Trigonométricas | |||
23 | [pic 28] | 26 | [pic 29] |
24 | [pic 30] | 27 | [pic 31] |
25 | [pic 32] | 28 | [pic 33] |
Concepto de Diferencial.
La diferencial de una función , es igual al producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente.[pic 34] Sea una variable independiente, su diferencial se expresa por .[pic 35][pic 36] |
Utilizando esta última expresión, a partir de las tablas que contienen los modelos de las derivadas, se puede obtener las tablas para los modelos de las diferenciales de las funciones algebraicas y trascendentes.
Por ejemplo:
[pic 37] | [pic 38] | “La diferencial de una constante es igual a cero” |
[pic 39] | [pic 40] | “La diferencial de una variable x es igual a ”[pic 41] |
[pic 42] | [pic 43] | “La diferencial de una constante por una función es igual a la constante por la diferencial de la función ”[pic 44] |
[pic 45] | [pic 46] | “La diferencial de una constante por una variable x es igual a la constante por la diferencial de la variable ”[pic 47] |
[pic 48] | [pic 49] | “La diferencial de la potencia de una variable es igual al producto de la potencia por la variable con el exponente reducido en la unidad por la diferencial de la variable” |
[pic 50] | [pic 51] | “La diferencial de la suma o resta de funciones o variables, es igual a la suma o resta de la diferencial de cada función o variable” |
[pic 52] | [pic 53] | “La diferencial del producto de dos funciones, es igual a la primera por la diferencial de la segunda, más la segunda por la diferencial de la primera” |
[pic 54] | [pic 55] | “La diferencial del cociente de dos funciones, es igual al cociente de la diferencia de la función del denominador por la diferencial de la función del numerador menos la función del numerador por la diferencial de la función del numerador, entre el cuadrado de la función del denominador” |
[pic 56]
Ejercicio 2.1
Utilizando la tabla de modelos de diferenciales obtenida, determine la diferencial de las siguientes funciones:[pic 57]
1) | [pic 58] | 6) | [pic 59] | 11) | [pic 60] |
2) | [pic 61] | 7) | [pic 62] | 12) | [pic 63] |
3) | [pic 64] | 8) | [pic 65] | 13) | [pic 66] |
4) | [pic 67] | 9) | [pic 68] | 14) | [pic 69] |
5) | [pic 70] | 10) | [pic 71] | 15) | [pic 72] |
Definición de logaritmo:
El logaritmo de un número es la cantidad a la que hay que elevar la base para encontrar dicho número.[pic 73][pic 74][pic 75]
[pic 76] | [pic 77] | [pic 78] |
[pic 79] | [pic 80] | [pic 81] |
PROPIEDADES DE LOGARITMOS | |||
[pic 82] | [pic 83] | [pic 84] | [pic 85] |
2.2 DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA:
El problema del Cálculo Integral se puede definir como: Dada la diferencial de una función, encontrar el valor de dicha función (llamada función primitiva).
La función que así se obtiene se denomina de la expresión diferencial dada; y el procedimiento de hallarla se llama integración esta operación se representa con el símbolo delante de la expresión diferencial dada, por lo que la integral indefinida se expresa por:[pic 86][pic 87][pic 88]
[pic 89]
Donde es una constante arbitraria a la cual se le denomina constante de integración, y representa una cantidad independiente de la variable de integración. La presencia de la constante de integración define al valor de la integral indefinida como una familia e curvas.[pic 90]
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