Las variables aleatorias

INTRODUCCION

Las variables aleatorias son aquellas que tiene un comportamiento probabilístico en la realidad. Por ejemplo, el número de clientes que llegan cada hora a un banco depende del momento del día, del día de la semana y de otros factores.

La generación de variables aleatorias o estocásticas significa la obtención de variables que siguen una distribución de probabilidad determinada. Requiere de dos etapas:

• Generar números aleatorios distribuidos uniformemente (R)

• Generar con R y con las distribuciones de probabilidad las variables aleatorias o estocásticas.

La generación de estadísticas simuladas, o sea de los valores de las variables aleatorias, tienen una naturaleza enteramente numérica y debe soportarse por números aleatorios, generados por algún método

3.2 GENERACION DE VARIALES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS

VARIABLE

Entidad que puede tomar un valor cualesquiera durante la duración de un proceso dado.

Tipos de variables:

• Discreta

• Continua

• Independiente

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Una variable aleatoria discreta puede tomar valores numéricos específicos, como el resultado de lanzar un dado, o la cantidad de dólares en una cuenta bancaria elegida al azar. Las variables aleatorias discretas sólo pueden tomar un número finito de muchos valores y se les llama variables aleatorias finitas.

Existen diversos métodos para generar variables aleatorias discretas:

• Transformada Inversa

• De aceptación-rechazo, o método de rechazo.

• De composición.

• Métodos mejorados según la distribución.

Una variable aleatoria X es discreta, si solamente puede tomar un conjunto numerable de valores.

Ejemplos: El número de libros en una biblioteca, el número de habitantes en una población, la cantidad de dinero que una persona trae en su bolsillo, el número de aves en un gallinero, el número de admisiones diarias a un hospital, el número de accidentes automovilísticos en una carretera durante un año, etc.

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido entre dos valores cualesquiera; ésta puede asumir infinito número de valores y éstos se pueden medir.

MÉTODOS PARA GENERAR VARIABLES ALEATORIAS

Existen varios métodos para generar variables aleatorias siendo los más importantes: transformada inversa, convolución y aceptación-rechazo. Mediante estos métodos es posible generar variables aleatorias discretas (binomial, poisson, etc.) y continuas (uniforme, exponencial, normal, etc.).

 MÉTODO ACEPTACIÓN-RECHAZO

El método de aceptación y rechazo no es un método directo y puede ser útil cuando alguno de los métodos directos no es eficiente debido a que no sea posible conocer la función de distribución como es el caso de la distribución normal.

Consiste en generar un valor de la variable aleatoria e inmediatamente probar que dicho valor simulado proviene de la distribución de probabilidad que se está analizando.

PASOS:

 Generar dos números uniformes U(0,1) llamados U1 y U2.

 Determinar el valor de la variable aleatoria X de acuerdo a la siguiente relación lineal de U1:

 Evaluar la función de probabilidad en X = a+(b-a)U1.

 Determinar si la siguiente desigualdad se cumple:

 Se utiliza a X = a+(b-a)U1 si la respuesta es afirmativa como un valor simulado de la variable aleatoria. De lo contrario, es necesario regresar nuevamente al paso 1 tantas veces como sea necesario.

 MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA.

El método consiste en:

 Definir la función de Densidad f(x) que representa la variable a modelar.

 Calcular la función acumulada f(x).

 Despejar la variable aleatoria x y obtener la función acumulada inversa f(x)-1.

 Generar las variables aleatorias x, sustituyendo valores con números pdeudoaleatorios ri ~U (0,1) en la función acumulada inversa.

 MÉTODO DE CONVOLUCIÓN

El método de convolución asume que existen Y1, Y2,…, Ym variables aleatorias, tal que

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