Ciencias Economicas-administrativas
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División de Ciencias Sociales y Administrativas | Licenciatura en Gestión y Administración de PyMES.
Matemáticas Financieras Unidad 1. Introducción a las matemáticas financieras
Licenciatura en:
Gestión y Administración de las Pequeñas y Medianas Empresas (PyMES)
Programa de la asignatura:
Matemáticas financieras
Clave
080920414
Universidad Abierta y a Distancia de México
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Matemáticas Financieras Unidad 1. Introducción a las matemáticas financieras
Índice
Unidad 1. Introducción a las matemáticas financieras ......................................................................................... 3
Presentación de la unidad .................................................................................................................................... 3
Propósitos ............................................................................................................................................................... 3
Competencia específica ........................................................................................................................................ 3
Glosario ................................................................................................................................................................... 4
1.1. Razones aritméticas y geométricas ............................................................................................................ 5
1.1.1. Proporciones................................................................................................................................................ 7
1.1.2. Reparto proporcional .................................................................................................................................. 7
1.1.3. Regla de tres (inversa y compuesta) ....................................................................................................... 9
1.1.4. Tanto por ciento ........................................................................................................................................ 14
1.2. Progresiones aritméticas y geométricas................................................................................................... 18
1.2.1. Progresiones aritméticas ......................................................................................................................... 18
1.2.2. Progresiones geométricas ....................................................................................................................... 21
Actividad 2. Mapa conceptual ............................................................................................................................ 24
Actividad 3. Investigación y exposición ............................................................................................................ 25
Autoevaluación ..................................................................................................................................................... 26
Autorreflexiones ................................................................................................................................................... 28
Evidencia de aprendizaje. Ejercicios prácticos ............................................................................................... 28
Cierre de la unidad .............................................................................................................................................. 29
Para saber más… ................................................................................................................................................ 29
Fuentes de consulta ............................................................................................................................................ 29
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Matemáticas Financieras Unidad 1. Introducción a las matemáticas financieras Unidad 1. Introducción a las matemáticas financieras
Presentación de la unidad
Antes de profundizar en temas complejos como es el uso de equivalencias de dinero en determinados horizontes de tiempo y sus aplicaciones, es necesario que recuerdes el uso de operaciones relativamente sencillas tales como la proporcionalidad, el porcentaje y progresiones aritméticas y geométricas.
Propósitos
Al terminar la unidad serás capaz de:
Explicar y utilizar razones y proporcionalidad
Entender y utilizar el concepto de porcentaje
Plantear y resolver problemas de variación proporcional y de porcentaje
Entender y aplicar las progresiones aritméticas y geométricas
Competencia específica
Utilizar las diferentes herramientas y conjunto de procesos fundamentales para realizar análisis y evaluaciones financieras mediante la resolución de problemas básicos.
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Matemáticas Financieras Unidad 1. Introducción a las matemáticas financieras
Glosario
Esta actividad te permitirá desarrollar algunas habilidades relacionadas con buscar, procesar y analizar información de diversas fuentes. Además de beneficiar tus capacidades de comunicación, de investigación, de aprendizaje y de trabajo en equipo. La actividad realizarás durante todo el estudio de esta Unidad. Para ello: 1. Identifica los conceptos que no entiendas en el estudio de esta Unidad. 2. Investiga en diferentes fuentes de información el significado de los conceptos que desconoces *Recuerda que las fuentes que consultes deben ser confiables. Puedes usar libros de texto, revistas, material virtual, publicaciones científicas, etcétera. 3. Ingresa a la Wiki para agregar tus conceptos y compartirlos con el resto del grupo. Tu información debe ir debidamente referenciada utilizando los criterios del Sistema APA.
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Matemáticas Financieras Unidad 1. Introducción a las matemáticas financieras 1.1. Razones aritméticas y geométricas
Es sumamente difícil encontrarle significado alguno a enunciados que se expresen con números. Muchos de éstos, tienen significado si tales números son comparados con otros. Por ejemplo, si a un mesero le pagan pesos por hora de trabajo, este puede darse cuenta de que su salario es insuficiente para solventar sus gastos, pero no sabe si su trabajo está siendo bien remunerado si no lo compara con el de otra persona que realice la misma actividad. Si otro individuo está ganando pesos, el mesero podría pensar que está trabajando bajo condiciones económicamente desfavorables. Pero, si el sueldo promedio de esta actividad es de pesos, entonces, su oferta es buena.
Un método muy útil de comparación es la razón, que se puede definir como la comparación entre dos números similares.
Ahora bien, es necesario mencionar que se conocen dos tipos de razones: las aritméticas y las geométricas. En las razones aritméticas, la comparación de cantidades se hace mediante una diferencia (resta). Por ejemplo, la razón aritmética de 10 y 4 es 6.
En el caso de las razones geométricas, la comparación está dada por el cociente (división) de las dos cantidades. A continuación, ahondaremos sobre este tema.
Por ejemplo, si en un estacionamiento se tiene un total de automóviles, de los cuales son camiones y son camionetas, entonces la razón de camiones a camionetas es de a , que también se considera correcto expresarlo como o . Esta última forma de expresión de razones, se puede utilizar para realizar cálculos.
Las razones expresadas como fracciones, pueden ser menor que, igual a, o mayor que . Por ejemplo:
Si un segundo estacionamiento tiene automóviles, incluyendo camionetas:
La razón de camionetas en el primer estacionamiento a camionetas en el segundo estacionamiento es de
La razón del número de automóviles en el segundo estacionamiento en relación al número de automóviles existentes en el primero es de
En los ejemplos vistos anteriormente, la razón de camiones a camionetas es de , se puede reducir a y se interpreta de la siguiente manera:
Existen camiones por cada camionetas en el primer estacionamiento.
En el estacionamiento hay cuatro sextas partes de camiones en comparación con las camionetas.
La segunda razón con el número de camiones al total de automóviles, , se puede reducir a y esto significaría que:
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Cuatro décimas partes del estacionamiento son camiones.
De cada automóviles, son camiones.
Ejemplo 1
Un Colegio compró una nueva bandera del escudo de la institución. Si la bandera tiene metros de largo y metros de ancho, ¿Cuál es la razón del largo contra el ancho?
=
La cantidad con la que se realiza la comparación es el denominador.
Razón = , o 2 a 1, o 2:1
Simplifica el quebrado dividiendo el numerador y el denominador.
Esto significa que el largo de la bandera es el doble del ancho.
Ejemplo 2
1. Durante el periodo de ventas de mediados de junio de 2005, tres compañías fabricantes de computadoras en México vendieron computadoras. De éstas, las ventas de la compañía fueron de computadoras. La razón de las ventas de la compañía en comparación con el total:
La cantidad contra la que se hace la comparación es el denominador.
=
=
Esto significa que, de cada computadoras que fueron compradas en junio del 2005, fueron fabricadas por la compañía .
2. Si la razón de que se trata fuera el número de computadoras de la compañía vendidas en comparación con el número de computadoras vendidas por las demás compañías, la razón sería:
=
≈ =
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Matemáticas Financieras Unidad 1. Introducción a las matemáticas financieras
≈ Significa “es aproximadamente igual a”.
Esta razón señala que, durante junio de 2005, se vendieron computadoras de la compañía por cada computadoras vendidas por los demás fabricantes.
Ejemplo 3
Una tienda compró un costal de azúcar en pesos y lo vendió a pesos. La ganancia bruta (la diferencia entre el costo y el precio de venta) fue de pesos. Las siguientes razones pueden ser de utilidad para la tienda:
Costo a precio de venta =
Ganancia bruta a precio de venta =
La ganancia bruta al costo
La ganancia bruta fue de del costo.
1.1.1. Proporciones
Las proporciones son simplemente la comparación entre dos cantidades o razones, independientemente de su índole (aritmética o geométrica).
La variación proporcional describe relaciones especiales entre cantidades variables. La variación proporcional puede ser directa, inversa o mixta.
1.1.2. Reparto proporcional
Se dice que es directamente proporcional a , o varía directamente con , si existe una constante , diferente de cero, tal que:
La constante recibe el nombre de constante de proporcionalidad directa.
Cuando 2 cantidades son directamente proporcionales y es positiva, se cumple que si una de las variables se incrementa o disminuye, la otra también tendrá el mismo efecto. Por ejemplo, el costo del servicio de telefonía celular y el número de minutos consumidos son cantidades directamente proporcionales, ya que al aumentar el número de minutos consumidos, aumenta el costo.
Ejemplo 1
Si es directamente proporcional a y cuando , encuentra cuando .
Solución:
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Sustituir los valores numéricos y en la ecuación .
Calcular el valor de la constante de proporcionalidad:
La constante de proporcionalidad es . Por lo tanto, la ecuación que relaciona a con es:
Si el nuevo valor de es , entonces el nuevo valor de será:
Ejemplo 2
Si varía en forma directa a y cuando y , calcula cuando y .
Solución:
Por lo tanto,
Si los nuevos valores de y son 3 y , respectivamente, el nuevo valor de será:
Ejemplo 3
Si aspiradoras cuestan pesos, ¿Cuánto costarán aspiradoras iguales a las anteriores?
Solución:
Mientras más aspiradoras se compren, más pesos se deben pagar, por lo tanto, estas cantidades están relacionadas de manera directamente proporcional.
Sea la cantidad de aspiradoras compradas y la cantidad de dinero a pagar, en pesos. Por lo tanto,
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La ecuación que relaciona con es . Si , entonces .
También es posible escribir la relación entre y de la siguiente forma:
Por lo tanto,
Entonces, se tiene la siguiente ecuación: ). Si , entonces:
1.1.3. Regla de tres (inversa y compuesta)
Variación proporcional indirecta
Se dice que es inversamente proporcional a , o varía inversamente con , si existe una constante , diferente de cero, tal que:
La constante recibe el nombre de constante de proporcionalidad inversa.
Cuando dos cantidades son inversamente proporcionales y es positiva, entonces se cumple que si una de las variables se incrementa, la otra disminuye; o bien, si una de las variables disminuye, la otra se incrementa. Por ejemplo, si se va a organizar una reunión, en la cual todo el que asista tiene que cooperar, la cantidad de dinero de cooperación es inversamente proporcional a la cantidad de personas que asistan a la reunión, es decir, al aumentar el número de personas, la cantidad de dinero que tiene que cooperar cada una es menor y viceversa.
Ejemplo 1
Si varía en forma inversamente proporcional a , y cuando , encuentre y cuando .
Solución:
Al sustituir los valores numéricos y en la ecuación , podemos calcular el valor de la constante de proporcionalidad.
La constante de proporcionalidad es ; por lo tanto, la ecuación que relaciona a con es:
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Si el nuevo valor de es , entonces el nuevo valor de será:
Ejemplo 2
Seis hombres levantan una barda en días. ¿En cuántos días podrían hace la misma obra hombres?
Solución:
Como a más hombres trabajando en la obra, se necesitan menos días para terminarla, estas cantidades son inversamente proporcionales. Si es el número de hombres y es el número de días, entonces:
Es decir:
Por lo tanto:
días.
Ejemplo 3
Una compañía otorga un incentivo económico a 3 de sus trabajadores de $200,000 pesos en forma inversamente proporcional a sus ingresos por mes, siendo esto lo siguiente: María gana $6,000 pesos, Jorge gana $7,000 pesos y Cecilia gana $8,000 pesos. ¿Cuánto dinero le toca cada uno?
Solución:
Sea:
Cantidad de dinero que le toca a María
Cantidad de dinero que le toca a Jorge
Cantidad de dinero que le toca a Cecilia
Entonces despejando , y de las ecuaciones siguientes, se tiene:
Sustituyendo los valores en la siguiente ecuación se tiene:
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( )
Por lo tanto,
Sustituyendo el valor de en cada una de las ecuaciones:
=
=
=
Variación proporcional mixta
En los temas desarrollados con anterioridad, únicamente se contemplan 2 variables. En ocasiones, te presentarán problemas con más de 2 variables que se encontrarán relacionadas de manera inversa o directa, es decir, donde se presenten los 2 tipos de variación.
Un tipo de variación proporcional con más de 2 variables es la variación compuesta. Se dice que una variable varía conjuntamente con 2 o más variables, si es directamente proporcional a su producto. Por ejemplo, si varía conjuntamente con , y , esto significa que varía en forma directamente proporcional al producto de , y , es decir, en donde es la constante de proporcionalidad y diferente de .
Otro ejemplo. Si , se dice que varía conjuntamente con la raíz cuadrada de .
Ejemplo 1
Considera que varía conjuntamente con y el cubo de e inversamente con el cuadrado de . Si cuando , y , determina si , y .
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Solución:
De acuerdo al enunciado, la ecuación que une a las variables es .
Sustituyendo los valores , , y , el valor de se obtiene mediante:
Por lo tanto, la ecuación que relaciona a con , y es .
El valor de para los nuevos valores de , y será:
Ejemplo 2
El total de combustible consumido por un avión que viaja con velocidad constante varía de forma conjunta con la distancia recorrida y con el cuadrado de la velocidad. Si un avión consume 250 litros al recorrer 230 kilómetros a la velocidad de 200 km/h, ¿cuánto consumirá si recorre 530 km a 300 km/h?
Solución:
Sea el total de combustible consumido, la distancia recorrida y la velocidad. La ecuación de variación es:
2
Por lo tanto,
El valor de para los nuevos valores de distancia y velocidad es:
Ejemplo 3
En un concurso académico llevado a cabo entre los estudiantes de una universidad pública, se repartió un premio de pesos entre los finalistas en forma inversa al tiempo que se tardaron en resolver el conjunto de problemas y el número de problemas resueltos incorrectamente. Uno de los finalistas tardó minutos en resolver los problemas y tuvo problemas incorrectos; otro finalista tardó minutos y tuvo problemas incorrectos y el tercero tardó minutos y tuvo problemas incorrectos. ¿Cuánto dinero recibió cada concursante?
Solución:
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De acuerdo al enunciado del problema se tiene que:
En donde es la cantidad que recibirá cada finalista, es el tiempo empleado en la resolución de los problemas y es el número de problemas que contestaron erróneamente.
Sea:
Cantidad de dinero que recibe el primer finalista Cantidad de dinero que recibe el segundo finalista Cantidad de dinero que recibe el tercer finalista
Por lo tanto:
Es decir:
Por otro lado se sabe que:
Esto es:
Por lo tanto:
La cantidad que le toca a cada uno de los finalistas es:
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Matemáticas Financieras Unidad 1. Introducción a las matemáticas financieras 1.1.4. Tanto por ciento
Toma el periódico cualquier día y encontrarás enunciados como los siguientes:
Descuento del en ropa de temporada
Se presentó una disminución del en el precio de las hortalizas
La precipitación pluvial ha disminuido respecto al año anterior
La tasa de interés anual es del
El de las personas entrevistadas están de acuerdo con la nueva ley
Independientemente del tema que se esté tratando, la relación entre dos cantidades se expresa frecuentemente en porcentaje El término porcentaje proviene de la palabra latina que significa “cien” y se representa un quebrado cuyo denominador es . Por consiguiente, se podría escribir como o Muchos problemas de la economía, la administración y sus respuestas, se expresan en forma de porcentaje. En general, las matemáticas financieras presentan términos expresados en porcentajes.
Uno de los usos más comunes de los porcentajes se encuentra en el sistema monetario de México. Un peso, está dividido en partes, cada una de las cuales representa del peso, es decir, un centavo.
Cualquier unidad (población, importe de dinero, costo de un artículo, etc.) se puede estimar como dividido en cien partes iguales. Por consiguiente, cada parte es el del total.
Porcentaje decimal y quebrado
Aunque el signo de porcentaje es conveniente y se utiliza comúnmente en la escritura, no se usa en el cálculo. Tiene un valor aritmético definido y antes de comenzar cualquier cálculo, la cantidad presentada como porcentaje se tiene que cambiar a un quebrado equivalente o un decimal. El equivalente aritmético de es o
Un porcentaje se puede cambiar a un decimal o quebrado equivalente sustituyendo el signo por su valor, por ejemplo: ( )
Se ha cambiado la forma, pero no el valor de . Mecánicamente, el cambio se lleva a cabo en etapas.
Regla: Para cambiar un porcentaje a decimal, desplaza el punto decimal lugares hacia la izquierda y elimina el símbolo de porcentaje .
Para cambiar un porcentaje a un quebrado, multiplícalo por y elimina el signo de porcentaje
Nota: Nunca se puede añadir o eliminar el símbolo de porcentaje sin un paso adicional.
Los siguientes ejemplos incluyen la aritmética de los quebrados y los decimales. Se dan explicaciones para todos los pasos.
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Ejemplo 1
Cambia 39% a decimales.
39% = .39% = 0.39
Cambia 39% a un quebrado.
39% = 39 x =
Desplaza el punto decimal dos lugares a la izquierda y elimina el símbolo%.
Multiplica por y elimina el símbolo %.
Comprobación: convierte a decimales dividiendo entre . El resultado es . Se ha cambiado la forma, pero no el valor de .
Cambia a decimales.
4% = .04% = 0.04
Cambia a un quebrado.
Añade un cero a la izquierda de . Después desplaza el punto decimal lugares a la izquierda y elimina el
Simplifica el quebrado dividiendo el numerador y el denominador entre
Comprobación: convierte a decimales dividiendo entre . El resultado es
Cambia 418% a decimales.
Cambia a un quebrado.
Desplaza el punto decimal lugares a la izquierda y elimina el porcentaje.
Multiplica por y elimina el porcentaje.
Simplifica el quebrado cambiando a un número mixto y después divide el numerador y el denominador entre .
Comprobación: Cambia a decimales. Divide entre , y obtendrás
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Cambia 0.25% a decimales.
Cambia a un quebrado.
=
= =
=
Desplaza el punto decimal lugares a la izquierda añadiendo ceros antes del y elimina el porcentaje.
Multiplica por y elimina el porcentaje.
Elimina el punto decimal del numerador multiplicando el numerador y el denominador por 0.
Simplifica el quebrado dividiendo el numerador y el denominador entre .
Comprobación: Cambia a decimales. El resultado es
Al resolver problemas aplicados a la administración, será necesario que cambies los porcentajes a quebrados o a forma decimal y puedes usar cualquiera de ellos. Sin embargo, en un caso específico el quebrado es más preciso cuando no existe un decimal exacto equivalente para el porcentaje.
Aunque los problemas en los negocios se trabajan con decimales y/o quebrados, con frecuencia las respuestas se convierten a porcentajes. El procedimiento para cambiar un decimal a un porcentaje es lo puesto al método utilizado para convertir un porcentaje a decimales. Un quebrado se debe cambiar primero a decimal y después a porcentaje.
Regla: Para cambiar un decimal a un porcentaje, desplaza el punto decimal lugares hacia la derecha y añade el símbolo de porcentaje
Para cambiar un quebrado a porcentaje, cámbialo primero a decimal y después a porcentaje.
Ejemplo 2
Cambia 0.022 a porcentaje.
0.022 = 2.2%
Cambia el punto decimal lugares a la derecha y añade el símbolo de porcentaje.
Cambia a porcentaje.
Cuando estés trabajando con un número entero donde el punto decimal no aparece, da por hecho que el punto decimal se encuentra después del último dígito
Añade ceros, desplaza el punto decimal dos lugares hacia la derecha y añade el símbolo %.
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Cambia a porcentaje.
Cambia la fracción a un punto decimal dividiendo el numerador entre el denominador.
Desplaza el punto decimal lugares hacia la derecha y añade el porcentaje.
Cambia 0.37 ½ = 0.375 = 37.5%.
Primero cambia el quebrado a un decimal. Después desplaza el punto decimal lugares a la derecha.
Cambia a porcentaje.
= 1.6 = 160%
Primero cambia el quebrado a un decimal dividiendo el denominador entre el numerador. ( = 0.6). Por lo tanto, = 1.6.
Mueve el punto decimal lugares a la derecha y añade el porcentaje.
Cambia a porcentaje.
=
O
Cambia el quebrado a un decimal dividiendo entre ; el resultado es 2.
Desplaza el punto decimal lugares a la derecha y añade el porcentaje.
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1.2. Progresiones aritméticas y geométricas
1.2.1. Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética se define como una sucesión de números llamados términos, tales que números cualesquiera consecutivos de la sucesión se encuentran separados por una misma cantidad llamada diferencia común.
1, 5, 9, 13… es una progresión aritmética cuya diferencia común es 4.
40, 30, 20, 10… es una progresión aritmética cuya diferencia común es -10.
Si se considera como el primer término de una progresión, como la diferencia común y el número de términos de la misma, se genera una progresión de la forma:
El último término de una progresión será igual al primer término de la misma adicionado de diferencias.
En una serie de 3 términos puede verse claramente esto:
El último término es igual al primer término , adicionado de veces la diferencia común, ya que , .
La suma de una progresión aritmética puede escribirse como sigue:
Pero también puede escribirse en forma inversa:
Si se suman las dos expresiones término a término se tiene:
...