Desarrollo de la actividad de la Wiki: Probabilidad

Desarrollo de la actividad de la Wiki.

1. Un programa de control de calidad en una línea de montaje de botellas de plástico implica inspeccionar botellas terminadas para detectar fallas, como huecos microscópicos. La proporción de botellas que tiene tal falla en realidad es de solo 0,0002. Si una botella tiene una falla en realidad es de solo 0,995 de que no pasará la inspección. Si una botella no tiene falla, la probabilidad es 0,99 de que pasará la inspección.

a. Si una botella no pasa la inspección, ¿cuál es la probabilidad de que tiene falla?
b. Cuál de las siguientes es la interpretación más correcta de la respuesta de la pregunta anterior:
i. La mayoría de las botellas que no pasan la inspección no tienen fallas
ii. La mayoría de las botellas que pasan la inspección tienen falla.

Desarrollo.

Un ingeniero debe contextualizar el problema a través de símbolos, en este caso usamos la teoría de conjuntos que nos permite definir los diferentes eventos y con estos identificar las probabilidades marginales o simples, las probabilidades condicionales y de esta forma visualizar la probabilidad total y luego la aplicación de Bayes.

En el contexto identificamos las probabilidades simples, que al sumarlas nos deben dar el 100% o en su defecto 1.

Sea B: “Botellas con fallas”  P(B)=0.0002.

       Bc: “Botellas sin fallas”   P(Bc)=0,9998

Note que la suma de los anteriores eventos nos da 1.

Ahora vamos a definir el evento A como:

A: “Botella no pasa la inspección”  

La probabilidad de ese evento P(A) es lo que se conoce como la probabilidad total que resulta de sumar el producto de las probabilidades simples con las probabilidades condicionales.

Con esos eventos definidos vamos a visualizar e identificar las probabilidades condicionales:

A/B: “Botella no pasa la inspección dado que tiene falla”  P(A/B)=0,995

A/Bc: “Botella no pasa la inspección dado que no tiene falla”  P(A/Bc)=0,01 note que este evento lo deducimos de la información real del ejercicio que dice si una botella no tiene falla, la probabilidad es 0,99 de que pasara la inspección esto es P(Ac/Bc)=0,99.

Con esta información que nos suministra el ejercicio estamos en condiciones de hallar la P(A) es decir la probabilidad que la botella no pase la inspección, esto es:

P(A)=P(A/B)*P(B)+P(A/Bc)*P(Bc)   (1)  reemplazamos

P(A)=0.995*0.0002+0.01*0.9998 efectuamos las operaciones.

P(A)=0.0001984 + 0.009998 sumamos

P(A)=0.0101964 es la probabilidad que la botella no pase la inspección. Con esta información tenemos los insumos para responder el literal a: Si una botella no pasa la inspección ¿cuál es la probabilidad que tenga falla esto es:

P(B/A)= (P(A/B)*P(B)) / P(A) reemplazamos

P(B/A)=0.0001984 /  0.0101964

P(B/A)= 0.01945 es la probabilidad que tenga falla dado que no pasa la inspección.

Noten que con esta presentación es muy fácil detectar el literal b) con respecto a la interpretación más correcta que es “la mayoría de las botellas que no pasan la inspección no tienen fallas” esto es:

De (1) teníamos

P(A)=P(A/B)*P(B)+P(A/Bc)*P(Bc) usando la definición de probabilidad condicional podemos expresar (1) de la siguiente manera:

P(A)=P(AnB) + P(AnBc)

P(A)=0.00001984 + 0.009998

En esta expresión 0.009998 tiene más peso dentro del total de la P(A)=0.0101964 esto es

0.009998 / 0.0101964  =  .9804

Recuerde que para definir los eventos se deben usar cualquier letra mayúscula A,B,C,D,E, lo importante es ser consistente con las letras que el grupo elija.

2.- Una distribuidora recibe un importante cargamento de componentes. A la empresa le gustaría aceptar el cargamento si 10% o menos de los componentes está defectuoso y rechazarlo si más del 10% presenta defecto. Se opta por seleccionar diez de estos y regresar el envío si más de uno tiene defectos.

a. Si la proporción de componentes defectuosos en la muestra es del 10% ¿cuál es la probabilidad de que la distribuidora regrese el cargamento?

b. Si la proporción de componentes defectuosos es del 20% ¿cuál es la probabilidad de que la empresa regrese el cargamento?.

Este enunciado presenta todas las características de una distribución de probabilidad binomial, hay solamente dos resultados posibles, éxito y fracaso, para definir el éxito dentro del enunciado hay que definir adecuadamente  la variable de estudio, porque esta definición nos lleva también a ubicar su respectiva probabilidad de éxito P=π y obviamente la probabilidad de fracaso (1-P)=Q=(1-π), en el desarrollo utilizaré la letra griega π para identificar la proporción o probabilidad de éxitos.

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