Ecuacion de la recta

Trea 1                     Enero 2024                            Ecuación de la recta      

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Ecuación de la recta  

     Los griegos definían a la recta como un conjunto infinito de puntos ordenados en la misma dirección. Para encontrar la ecuación de la recta en coordenadas cartesianas, consideremos una recta en el plano XY que se encuentra inclinada un ángulo 𝜑 con respecto al eje X -como se muestra en la figura de abajo-. Cualquier par de puntos conocidos de la recta -en este caso (𝑥1, 𝑦1) y (𝑥2, 𝑦2)-, nos permiten encontrar la pendiente de un segmento de la recta mediante la relación:  

 [pic 1]

Cualquier otro segmento entre un par de puntos de la recta tiene la misma pendiente.  Para encontrar las coordenadas de cualquier punto arbitrario (x, y) de la recta, se utiliza el valor de la pendiente  del segmento entre dicho punto y cualquiera de los dos conocidos: [pic 2]

       ó         En este caso hemos utilizado el punto (𝑥1, 𝑦1).[pic 3][pic 4]

     Cuando uno de los puntos conocidos es el punto de intersección de la recta con el eje Y, dicho punto se representa mediante las coordenadas (0, b), el cual es mostrado en la figura. Si, por ejemplo, el punto (𝑥1, 𝑦1), fuera dicho punto, es decir     la relación (1) se reduce a:  [pic 5]

𝑦 = 𝑚 ∙ 𝑥 + 𝑏                 (2)

[pic 6]

Figura 1

Ejemplo 1: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2, -7) y (4, 5). 

Solución: Para encontrar la ecuación, debemos encontrar los valores de m y b en la relación (2);

El primero de ellos es:            [pic 7]

Para encontrar el valor de b, utilizamos las coordenadas de cualquiera de los dos puntos conocidos y el punto (0, b), así como el valor de su pendiente:    En este caso hemos utilizado el punto conocido (𝑥2, 𝑦2). Despejando en la ecuación anterior tenemos: [pic 8]

         Sustituyendo el valor de la pendiente, tenemos que:    [pic 9][pic 10]

Así, la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2, -7) y (4, 5) es:   𝑦 = 2𝑥 − 3   

En particular, vemos que los puntos (-2, -7), (4, 5) y (0, -3) forman parte de dicha recta (o que tal recta pasa por los puntos), puesto que al sustituir en la expresión tenemos:

−7 = 2(−2) − 3,         5 = 2(4) − 3,                y    −3 = 2(0) − 3 

¿Pasará la recta 𝑦 = 2𝑥 − 3   por el punto (3, 4)?    Al sustituir tenemos: 4 ¿=? 2(3) − 3   Puesto que no se cumple la igualdad, dicho punto no forma parte de la recta.  

1.- A partir de las gráficas mostradas en la figura siguiente, obtener las ecuaciones para las rectas:

[pic 11]

Figura 2

Solución: Para la recta A buscamos dos puntos lo más alejados entre sí, pero que además los valores de sus coordenadas sean fáciles de identificar. Los puntos seleccionados son: (-7, 8) y (-4, -4). La pendiente de la recta es:  

[pic 12] 

Nótese que si tomamos los puntos en orden contrario obtenemos el mismo valor para la pendiente:  [pic 13]

[pic 14] 

En el presente caso no podemos obtener el valor de la coordenada en el cual la recta A cruza el eje Y, es decir el valor de  [pic 15]  cuando . Sin embargo, sabemos que la recta que pasa por dicho punto tiene la misma pendiente que la que pasa por los puntos anteriores, por lo que podemos plantear la siguiente relación entre dicho punto y el primero de los anteriores: [pic 16]

[pic 17]   

Despejando… [pic 18]

Nótese que obtenemos el mismo valor si utilizamos el segundo punto:

  [pic 19]

 Despejando…    [pic 20]

Así, la ecuación de la recta es:    [pic 21] 

Para la recta G tenemos:   Puntos seleccionados, (4, 7) y (-2,-8)    [pic 22]

Podemos observar directamente que la recta cruza el eje Y en el punto (0, -3), de manera que

  Así, la ecuación de la recta es:   [pic 23][pic 24]

 Tarea:

1.- Encuentra las ecuaciones de las rectas mostradas en la figura de la página anterior. Muestra tus cálculos (en el reverso de la página, o agrega páginas, si es necesario). No se tomará en cuenta si no muestras los cálculos.

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