Ecuaciones diferenciales de 2do grado

AREA DE CIENCIAS BASICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES

AUTOR:         Myriam Stella Rojas Cely

TEMA:                 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales  Ordinarias de Primer Orden

OBJETIVOS:

• Encuentra trayectorias ortogonales a familias de soluciones.
• Reconoce modelos matemáticos con ecuaciones diferenciales de primer orden.
• Resuelve problemas de aplicación modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden.

TIEMPO:         

• Una semana

CONDUCTA DE ENTRADA:

Determine un factor integrante de la forma  y resuelva la ecuación.[pic 2]

[pic 3]

Resuelva las siguientes ecuaciones:

1.                                         [pic 4]
2. [pic 5]
3.                             [pic 6]
4.  [pic 7]
5. [pic 8]

DESARROLLO DE LA TEMATICA

• Realizar una lectura de la guía con los temas dados.
• Estudiar los temas presentados en la guía.
• Investigar por cuenta propia en otros textos acerca de los temas dados, para que estos sean ampliados.
• Realizar los ejercicios propuestos al final de esta guía para así precisar el entendimiento de los temas presentados.
• Realizar un trabajo más detallado al proceso de modelamiento con ecuaciones de primer orden.
• Graficación e un mismo plano de familias de soluciones de una ecuación diferencial.
• Asistir a tutorías tanto presenciales como virtuales para aclarar dudas cerca de los temas dados.

Introducción: Muchos procesos complejos pueden descomponerse en varias etapas y todo sistema se puede modelar describiendo las interacciones entre las distintas etapas. Tales sistemas se llaman sistemas por comportamientos y se exhiben en forma gráfica como diagramas de bloque. En esta guía miraremos algunos modelos con ecuaciones diferenciales de primer orden, y analizaremos algunos procesos sencillos que pueden controlarse mediante tal modelo. De igual manera que se estudiaran las trayectorias ortogonales a familia de funciones.

Trayectorias Ortogonales: Recordemos de los estudios de geometría analítica que dos rectas  que no son paralelas a los ejes coordenados, son perpendiculares si y sólo si sus pendientes respectivas  satisfacen la relación . En general, dos curvas  se dice que son ortogonales en un punto de intersección, si y sólo si sus tangentes son perpendiculares en el punto. Excepto en el caso donde las tangentes sean paralelas a los ejes coordenados, esto significa que la pendiente de una tangente es la recíproca negativa de la otra.[pic 9][pic 10][pic 11]

Cuando todas las curvas de una familia de curvas  cortan ortogonalmente a todas las curvas de otra familia , se dice que las familias son, cada una, trayectorias ortogonales de la otra. En otras palabras, una trayectoria ortogonal es una curva cualquiera que corta el ángulo recto a toda curva de otra familia.[pic 12][pic 13]

Método para determinar trayectorias ortogonales: Para encontrar trayectorias ortogonales de una familia de curvas dadas, se halla en primer lugar la ecuación diferencial  que describe a la familia. La ecuación diferencial de la segunda familia, ortogonal a la familia dada es .[pic 14][pic 15]

Ejemplo: Halle las trayectorias ortogonales de la familia de hipérbolas rectangulares [pic 16]

[pic 17]

Solución

La derivada de     es      y despejamos a  , se obtiene la ecuación diferencial de la familia dada:[pic 18][pic 19][pic 20]

[pic 21]

En tal caso, la ecuación diferencial de la familia ortogonal es.  [pic 22]

Se resuelve esta última ecuación separable   entonces se obtiene familia de curvas ortogonales [pic 23][pic 24]

A continuación presentamos algunas curvas ortogonales al ejercicio anterior:

[pic 25]

Modelos Con Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden  

1. Ley de Enfriamiento de Newton: En general, la temperatura de un cuerpo en proceso de enfriamiento cambia a una razón proporcional a la diferencia de la temperatura del cuerpo y la temperatura ambiente.

 Temperatura del cuerpo en cualquier instante .[pic 26][pic 27]

 Temperatura ambiente.[pic 28]

Modelo Matemático:                constante de proporcionalidad [pic 29][pic 30]

Solucionando la ecuación separable se tiene

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

Ejemplo: Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de , después de 3 minutos . ¿En cuánto tiempo se enfriara hasta la temperatura de ? Si la temperatura ambiente es de .[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

     Y         luego aplicando el modelo de la ley de enfriamiento[pic 39][pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

Cuando    ahora  determinamos el valor de   [pic 43][pic 44][pic 45]

[pic 46]

El pastel se enfriara a hasta una temperatura de   pasado aproximadamente .[pic 47][pic 48]

1. Se cometió un homicidio y la policía descubrió el cuerpo de la victima  a las . En ese momento la temperatura del cadáver era de , después de consultar con la oficina de meteorología, se determina que la temperatura del cuerpo en el lugar del crimen era  entre las  y las . ¿A qué horas ocurrió el homicidio?[pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53]

 ,  cuando [pic 54][pic 55]

Cuando  [pic 56]

[pic 57]

Hallando el valor de , con el valor inicial        se tiene que  [pic 58][pic 59][pic 60]

Luego, se determina el valor   con el segundo valor dado  [pic 61][pic 62]

Entonces      despejando de esta última ecuación el valor de , se tiene  .[pic 63][pic 64][pic 65][pic 66]

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