INECUACIONES POLINÓMICAS

INECUACIONES POLINÓMICAS

Cualquier inecuación polinómica puede ser reducida a una de la forma

                P(x) = an xⁿ + an – 1 xⁿ-¹ + …. a₁ x + a๐ ≈ 0

donde el símbolo ≈ representa cualquier tipo de desigualdad (<,>, ≤ ο ≥)

Los pasos que hay que dar para encontrar la solución son los siguientes:

1. Se calculan las raíces reales del polinomio p (x) (soluciones reales de la ecuación p [x] = o). Supongamos que son: x₁ < x₂ < x₃.
2. Se marcan sobre la recta real de la forma ordenada las raíces encontradas:

         x₁                      x₂                   x₃

 [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

1. Se calcula el signo del polinomio p (x) en cada uno de los intervalos en que las raíces dividen a la recta real, Hay que tener en cuenta que el signo de p (x) no varia dentro de un mismo intervalo, pues, en caso de cambiar, habría una nueva raíz en dicho intervalo, lo cual no es  posible. Para calcular dicho signo, basta dar a x un valor del interior de cada intervalo, Obtendríamos así un esquema de signos similar al siguiente:

         x₁                   x₂                      x₃

        -        +        -        +[pic 5][pic 6][pic 7]

Deducimos que p (x) es negativo en ( -∞, x₁) U (x₂, x₃) y positivo en (x₁, x₂) U (x₃, ∞)

1. Determinamos la solución de la inecuación observando el tipo de desigualdad inicial:}

• Si es p (x) < 0, la solución estará formada por todos los puntos de (-∞, x₁) U (x₂, x₃).
• Si es p (x) ≤ 0, a la solución anterior habrá que añadirle los extremos de los intervalos (las raíces). Sera por tanto (-∞, x₁] U [x₁ , x₂].
• Si es p (x) > 0, la solución será la unión de los intervalos (x₁, x₂) U (x₃, ∞).
• Si es p (x) ≥ 0, le añadimos a la solución anterior los extremos. La solución será, por tanto, [x₁, x₂] U [x₃, ∞].

Ejemplo:

Resolver la inecuación de segundo grado x² - 4x – 5 ≥ 0

Solución: Calculamos las raíces del polinomio x² - 4x – 5, resolviendo la ecuación

                x² - 4x – 5 = 0 x =  =  =  [pic 11][pic 8][pic 9][pic 10]

Las raíces, son por tanto, x₁ = -1 y x₂ = 5

Las marcamos ordenadamente sobre la recta real:

        -1                                                                 5

[pic 12]

Estudiamos el signo de x² - 4x – 5 en cada uno de los tres intervalos resultantes. Para ello damos valores arbitrarios a x en cada uno de dichos intervalos. Por ejemplo:

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