La presente investigación tuvo como objetivo principal ver a la matemática como una materia aplicable y compatible con la vida cotidiana.

Abstract

La presente investigación tuvo como objetivo principal ver a la matemática como una materia aplicable y compatible con la vida cotidiana. Este estudio, tomando como fundamento teórico el trabajo de varios autores como Lehman y Kindle, se centró en la relación entre el análisis geométrico y la representación abstracta de figuras concretas mediante diferentes ecuaciones, tomando como objetos de análisis a diversos tipos de elementos botánicos  probablemente conocidos por el lector.

Como resultado de todo el proceso investigativo descrito, se obtuvo la siguiente conclusión: Si una gráfica es semejante a la silueta de algún elemento botánico, entonces la ecuación que representa aquella gráfica, definirá también a dicho elemento.

Palabras clave:  matemática,  aplicaciones, flores, botánica, geometría analítica, curvas geométricas, coordenadas polares, ecuaciones paramétricas, roda polar, cardioide, nefroide, espiral, caracol de Pascal.

Introducción

Un matemático es como un músico. El primero, al ver un pentagrama lleno de símbolos puede llegar a interpretar  y escuchar sonidos, compases, ritmos. Este pentagrama no es nada más que una fórmula, una notación que trata de representar algo mucho más abstracto, la música. Un matemático tiene la misma relación con las ecuaciones, los números y las fórmulas. A partir de ellas puede interpretar y ver una forma, un cuerpo, una figura e incluso un movimiento. La matemática es en realidad un idioma o un lenguaje universal, a partir del cual se puede representar al mundo entero.

¿Qué viene a nuestra mente cuando vemos: “1+1=2”?¿Una suma?, y ¿que es una suma? Aquí radican las maravillas de la matemática y de esta como una representación de todo nuestro entorno. Estamos tan familiarizados con una expresión como esta que no alcanzamos a entender claramente lo que implica. Ese “1+1=2” representa el concepto de la adición, que de forma simple se puede definir como el acto de contar. Pero, si lo analizamos bien, es tan abstracto como la música. La única forma en la que podemos entenderlo, concretizarlo y transmitirlo es mediante a una notación única y universal: la matemática.

 Cuando entendemos de esta forma a la matemática podemos comenzar a comprender la geometría analítica y su objetivo, el analizar las figuras geométricas a partir de un sistema de coordenadas específico y del álgebra simple. Rectas, parábolas, hipérbolas, elipses y demás figuras geométricas son representadas mediante fórmula del tipo: , es decir como funciones. Cuando se grafican estas funciones en el sistema de coordenadas elegido, la gráfica representará a la figura mencionada. [pic 1]

El objetivo de esta monografía es comprobar cómo estas ecuaciones pueden llegar a representar figuras que encontramos en la naturaleza y que las conocemos como parte de nuestro alrededor, tal como una simple flor. Es decir, se pretende entender las formas geométricas encontradas en todo el entorno que conocemos, a partir del lenguaje matemático.

Es así que el eje de estudio será el de la “rosa polar” definida como: “todo el conjunto de curvas de ecuación . Término que nos permite entender de forma propedéutica a los elementos de la botánica como figuras geométricas simples y fáciles de representar por medio de una ecuación. [pic 2]

Ahora bien, como se puede ver a partir de la ecuación que define a la rosa polar, donde se utilizan coordenadas polares; lo más conveniente para poder analizar este tema es dejar a un lado las coordenadas cartesianas y utilizar coordenadas polares, es decir, determinar la ecuación a partir de un ángulo, para facilitar el estudio de las fórmulas y la representación de las figuras. Es así que alrededor de todas las páginas de este proyecto se mostrará una evolución desde el análisis de las coordenadas rectangulares, pasando por la comprensión del funcionamiento y uso de las coordenadas polares, hasta llegar al uso completo de ecuaciones paramétricas necesarias para la creación de gráficas.

Para poder desarrollar todas las ideas presentadas hasta el momento, se utilizarán herramientas que faciliten tanto la representación o realización de gráficas partiendo de una ecuación determinada, como la formulación de una ecuación partiendo de la gráfica de una figura específica.

Entre estos programas se encuentra “Geogebra” y “Winplot”, ambos utilizados en cientos de trabajos e investigaciones científicas por la serie de funciones utilizables en ellos. También se trabajará con “Wolfram Alpha”, programa online que cumple el mismo propósito de ayuda y refuerzo.

Así, se relacionarán las figuras geométricas simples con los elementos de la naturaleza comunes. Por ultimo, debemos poner en claro que se plantea esta relación debido a que se maneja el tema desde un punto de vista propedéutico, ya que a partir de la matemática más compleja, nunca se podría hacer esta comparación, como lo define Benoît Mandelbrot con palabras claras en su libro “La geometría fractal”:

¿Por qué a menudo se describe la geometría como algo «frío» y «seco»? Una de las razones es su incapacidad de describir la forma de una nube, una montaña, una costa o un árbol. Ni las nubes son esféricas, ni las montañas cónicas, ni las costas circulares, ni la corteza es suave, ni tampoco el rayo es rectilíneo. (Mandelbrot, 1997, p. 15)

Es así que los ejemplos que se presentarán a continuación, servirán para poder entender de forma sencilla y elemental la estrecha relación entre el lenguaje de la matemática y los elementos de todo nuestro alrededor, relación cuyo puente son las ecuaciones descritas en forma algebraica a partir de las características individuales de cada uno de estos elementos. De esta forma, se entenderá que la maravilla de la matemática se encuentra en sus aplicaciones, en la forma como estas son parte del mundo, como el idioma de la ciencia y de la vida.

1. Geometría analítica; la identidad de una figura  

La geometría analítica es el estudio de las formas, figuras y cuerpos a partir de sus características individuales basándose en el álgebra y el aritmética elemental. El elemento principal para este análisis es un sistema de coordenadas, que permita ubicar un punto o un objeto geométrico en un espacio determinado. En geometría plana, se distinguen dos sistemas principales: de coordenadas cartesianas o rectangulares y de coordenadas polares.

A pesar de sus diferencias, cada uno de estos sistemas al ser el objeto principal de la geometría analítica, permiten al matemático llegar a su objetivo: la representación de una gráfica mediante una fórmula única o la construcción de una fórmula única a partir de una gráfica, con la condición de que esta fórmula o ecuación se distinga de otras por más similares que puedan ser visualmente las gráficas que representan. Por ello, se diría que el análisis geométrico permite identificar a una figura específica mediante una ecuación que cumple la misma característica de una huella dactilar en los seres humanos, ser única e irrepetible.

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