La serie trigonométrica de Fourier

[pic 1][pic 2]Practica 1

Series de Fourier

Objetivo.

Aproximar a través de la serie trigonométrica de Fourier

1. - Una función rectangular con 2,3 y 4 términos

2, — Mostrar en una misma gráfica la aproximación de un pulso con tres términos.

[pic 3]3. — Mostrar la aproximación de un pulso con 61 términos

4. —Aproximar una función triangular con 3 términos.

Aproximar con serie exponencial de Fourier:

1. - Una función triangular

Antecedente Teorico:

Uso de los comandos de matlab Subplot , for , hold of

Los comandos que se utilizarán en esta práctica además de los ya mencionados, se describen a continuación:

Subplot es una librería que permite dividir la gráfica en partes más pequeñas y para ello su sintaxis es:

[pic 4]Subplot (m,n,#)

Donde m divide la gráfica en m partes horizontales

Ejemplo si m=2

n divide a la gráfica en n partes

Ejemplo n=2

Y finalmente # es el número de la gráfica.

Para dividir una gráfica en cuatro partes, se tendrán dos columnas y dos líneas y para indicar que se trazará en la primera quedará de la siguiente manera:

Subplot(2,2,1)

Si se dese hacer en 6 gráficas se tendrá:

Subplot(2,3,1)

Comando hold on sirve para colocar varias figuras en una misma gráfica, debiendo de escribirse al final de las instrucciones y antes del trazado, terminándose con hold off

Para definir un vector de tamaño t y que tenga puros ceros se hace de la siguiente manera:

y=zeros(size(t))

Comando for se utiliza cuando se requiere hacer un trabajo de manera reiterativa y una vez terminada, se debe de escribir end

Ciclo de for

[pic 5]

Programas y Graficas originales:

Aproximación de un pulso rectangular por medio de la serie trigonométrica de Fourier:

Las series de Fourier en comunicaciones son muy usadas ya que nos sirven para representar una función (pulso rectangular) por medio de sus componentes trigonométricas, las cuales son:

[pic 6]

Donde se deben de determinar los coeficientes ao, an, y bn por medio de las siguientes ecuaciones:

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Para el pulso rectangular se tiene que la serie de Fourier en sus cuatro primeros términos

f(t) —— [ 4/ TT ( sen (t) + (1/3 sen ( 3t) + (1/5 ) sen(5t)+(1/7 ) sen (7t)

Para obtener la gráfica de la función antes mencionada, primeramente [pic 10]limpiaremos todo, después definiremos el eje de las ordenadas T de 0 al 100 esto es de 0 a pi, con incrementos de pi en 99, escribimos la primera componente y después subdividiremos las gráficas, para que Matlab haga el trazado, se le pondrá titulo a la gráfica y se denotará el tamaño de la misma, como se muestra a continuación

Aproximación de la función rectangular por medio de la serie trigonométrica de Fourier

Programa para la fundamental

%primero se limpiara todo el sistema
clear all, clf, clc

%después definimos desde donde a donde se considera medio ciclo = pi y en cuantos pasos
t=0: pi/97: pi;
y= (4/pi)*sin (t);        % se escribe el eje y

% ahora subdividiremos la gráfica con el comando subplot en una grafica de dos por dos y se denota en donde se dibujara

subplot(2,2,1)
plot(t,y)
title ('Aproximación con la fundamental')
ylabel('f(t)')
grid
axis([0 pi 0 1.4])

Se le suma la 3 a armónica

% como es una función seno con la que se esta aproximando y es impar se tomara la tercera armónica sumándola a la anterior
yl=y+(4/pi)*sin(3*t)/3;

subplot(2,2,2)
plot(t,y1)
title('Aproximación con 2 armónicas')
grid
axis([0 pi 0 1.4])

se le suma la 5a armónica

y2=y1+(4/pi)*((1/5)*sin(5*t));
subplot(2,2,3)
plot(t,y2)
title('Aproximación con tres armónicas')
grid
axis ( (0 pi 0 1.4) )

ahora se agrega la 7a armónica

% a continuación se le agregara la 7a armónica
y3=y2+ (4/ pi) (sin (7* t) / 7) ;
subplot (2,2, 4)
plot ( t i y3)
title( 'Aproximación con 4 armónicas' )
grid        
[pic 11]axis ( (0 pi 0 1.4) )

Gráficas de la aproximación de la función rectangular por medio de la serie trigonométrica de Fourier

[pic 12]

Aproximación con tres términos

Ahora mostraremos la misma aproximación pero en una sola grafica, manteniendo los trazos originales de cada una de las armónicas

%primero se limpiara todo el sistema
clear all,clf,clc

%después definimos cuantos términos se tendrán en la serie
n=5;
cn=4/pi;

% ahora definimos inicio y terminación

t=0:0.001:pi;

% se hace un vector y se rellena de ceros
x=zeros(size(t));
hold on
% se escribe el comando de sujeción for         
% se inicia el ciclo reiterativo
y=cn*(l/n)*sin(n*t);
plot(t,x)
title('Aproximación con tres términos ')
hold off

...