Series de fourier Matlab.

[pic 1][pic 2][pic 3]

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL

CARRERA DE INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA Y COMUNICACIONES

Comunicación Analógica

Sexto Electrónica “A”

Proyecto

Series de Fourier con Matlab

Integrantes

Acurio David

Chiliquinga Cristian

Garcés Roberto

Solís Andrés

Docente: Mg. Ing. JUAN PABLO PALLO NOROÑA

OCTUBRE 2016 – MARZO 2017

AMBATO  -  ECUADOR

2016

1. Introducción

E

 n esta práctica, se pretende familiarizar el entorno de simulación/programación MATLAB con la resolución de las series de Fourier. De entre las innumerables posibilidades de MATLAB, esta práctica va  enfocada al desarrollo de una calculadora, que a través del ingreso de datos resuelva series de Fourier específicas, para lo cual nos introduciremos en el entorno de programación visual  GUIDE.

1. Objetivos

1. Objetivo General

• Realizar una calculadora para resolver las series de Fourier.

1. Objetivos Específicos

• Investigar la correcta resolución de las series de Fourier.
• Familiarizarse con el entorno de programación visual  GUIDE.
• Programar en el entorno de programación visual  GUIDE.

1. Resumen

Para desarrollar este proyecto tuvimos que plantear un procedimiento general para la resolución de las series de Fourier teniendo así la idea de plantear funciones formadas  en intervalos en un determinado periodo de tiempo. Las funciones seno y coseno tendrán otro tratamiento debido a que no se puede obtener su expresión String en un Edit Text. En general se presenta una calculadora de las series de Fourier.

1. Abstract

To develop this project we had to raise a general procedure for the resolution of Fourier series, thus having the idea of raising functions formed at intervals in a given period of time. The functions sine and cosine will have another treatment since its expression String in a Edit Text cannot be obtained. In general is a calculator of Fourier series.

1. Marco Teórico

FOURIER

Serie de Fourier: Una función es periódica, de período T, si para todo t se cumple que f(t)=f( t+T). Cualquier función del tiempo f(t), real, periódica de período T o frecuencia ω1 = 2 π / T, continua, puede ser expandida en una serie infinita de senos y cosenos de frecuencias ωn múltiplos de ω1 , es decir, ωn = n ω1, con n=1,2,…,∞. En forma de ecuación tenemos que[pic 4]

Construcción: Para obtener A0 calculamos el promedio temporal de f(t), sustituyendo la anterior serie en la integral del promedio y tomando en cuenta que el promedio temporal de los senos y cosenos son cero:[pic 5]

El valor de t0 normalmente es cero pero más adelante nos convendrá tomarlo como – T/2.

Para calcular los coeficientes Am con m=1,2,…,∞, calcularemos el promedio de una nueva función f(t) cos( m ω1 t):[pic 6][pic 7]

La primera integral del lado derecho es cero porque es el promedio de un coseno. Para las siguientes dos podemos considerar que los senos y cosenos son buena gente y permiten intercambiar los signos de sumatoria e integral sin mayores traumas. Entonces calculemos primero la última integral usando que el producto sen α * cos β se puede escribir como [sen(α+β)+sen(α-β)]/2, resultando así dos promedios que se anulan en un período, para todo valor de α y β, es decir para todo valor de n y m, y así ningún Bm saldrá en el resultado.

Para calcular la segunda integral usamos que el producto cos α * cos β se puede escribir como [cos(α+β)+cos(α-β)]/2, resultando así dos promedios que se anulan en un período, para todo valor de α y β, es decir para todo valor de n y m, excepto para el caso n=m que solo se anula el promedio de cos(α+β), porque cos(α-β)= cos(0)=1, cuyo promedio es 1.

En resumen, solamente quedará el valor Am/2, o cambiando la letra del índice:[pic 8]

[pic 9]

El gráfico de A n y B n en función de n ( o de ωn) se conoce como el espectro de frecuencias de la función periódica f(t).

Note que la distancia entre dos frecuencias consecutivas es:

Δω = (n+1) ω1 – n ω1 = ω1 = 2 π / T.

Serie de Fourier Compleja: Es posible modificar la ecuación de la Serie de Fourier para que la función f(t), real, quede en términos de exponenciales complejas, usando para ello la fórmula de Euler- De Moivre:

[pic 10]

Para ello escribamos la serie de la siguiente manera:[pic 11]

Donde se cumplen las relaciones:

A n = C n cos φn,

B n = - C n sen φn;

o:[pic 12]

la cual podemos escribir como:[pic 13][pic 14]

finalmente, usando un solo signo de sumatoria:[pic 15]

donde:

[pic 16]

Las Gn se obtienen a partir de f(t) usando la integral:

[pic 17].

MATLAB

MATLAB® es, básicamente, un lenguaje de altas prestaciones para la computación en todas aquellas áreas basadas en procesamiento de datos, sean de la índole que sean. Además del lenguaje, MATLAB integra en un entorno de uso bastante sencillo y amigable, una gran cantidad de capacidades de cómputo, visualización y programación. Los usos más típicos de MATLAB son:

• Análisis Matemático y Simulaciones Numéricas.

• Cálculo Simbólico.

• Desarrollo y Test de Algoritmos.

• Modelado de Sistemas.

• Análisis Estadísticos y Modelos Predictivos.

• Gráficos Científicos e Ingenieriles.

• Desarrollo de Aplicaciones y Productos Finales incluyendo GUI − Graphical User Interfaces –

GUIDE – MATLAB

INICIO

Para iniciar nuestro proyecto, lo podemos hacer de dos maneras:

a) Ejecutando la siguiente instrucción en la ventana de comandos:

>> guide

b) Haciendo un click en el ícono que muestra la figura:

[pic 18]

Se presenta el siguiente cuadro de diálogo:

[pic 19]

Se presentan las siguientes opciones:

1. Blank GUI (Default)

La opción de interfaz gráfica de usuario en blanco (viene predeterminada), nos presenta un formulario nuevo, en el cual podemos diseñar nuestro programa.

1. GUI with Uicontrols

Esta opción presenta un ejemplo en el cual se calcula la masa, dada la densidad y el volumen, en alguno de los dos sistemas de unidades. Podemos ejecutar este ejemplo y obtener resultados.

1. GUI with Axes and Menu

Esta opción es otro ejemplo el cual contiene el menú File con las opciones Open, Print y Close. En el formulario tiene un Popup menu, un push button y un objeto Axes, podemos ejecutar el programa eligiendo alguna de las seis opciones que se encuentran en el menú despegable y haciendo click en el botón de comando.

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