Probabilidades

PROBABILIDAD

La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

Constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.

Es la medida de la ocurrencia de un evento o suceso, cuando se realiza un experimento aleatorio.

Dado un evento A, asociado a un experimento aleatorio, se llama probabilidad de A, al cociente que se obtiene dividiendo el número de casos favorables para la ocurrencia de un evento entre el número total de posibilidades del experimento su fórmula seria la siguiente.

PA=(Numero de casos favorables (Evento))/(Numero total posibilidades (Experimento))= (N(ΩA))/(N(ΩE))

A este cociente también se lo puede multiplicar por 100 para obtener el resultado en porcentaje.

Propiedades

La probabilidad de A es un número real comprendido entre 0 y 1, esto significa que nunca será un numero negativo ni mayor que 1, es decir que A. 0 ≤ P│A│≤ 1

Si la probabilidad de un evento A es igual a 0 entonces el evento A es imposible que ocurra, es decir. P│A│= 0 el evento A no ocurre.

Si la probabilidad de A es igual a 1 entonces el evento A es seguro que ocurra, es decir. P│A│ = 1 el evento A ocurre.

Regla de la adición

La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente.

P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes.

Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B.

Si un experimento se forma por varios eventos la probabilidad de A es igual a la suma de la probabilidad de cada uno de esos eventos, es decir.

P│A│= ∑_(i=1)^n▒〖P│Ai│〗

La probabilidad de la unión de dos eventos excluyentes A y B, es igual a la suma de la probabilidad de cada uno de ellos, esta regla se llama regla aditiva especial de probabilidades, su fórmula es.

PAB = PA + PB siempre que A y B sean excluyentes.

Dos eventos A y B son excluyentes AB = 

La probabilidad de la unión de 2 eventos cualquiera A y B es igual a la suma de la probabilidad de cada uno de ellos, menos la probabilidad de la intersección de cada uno, esta propiedad se llama regla aditiva general.

PAB = PA + PB - PAB

Dos eventos cualesquiera.

Si A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes (eventos intersecantes), es decir, de modo que ocurra A o bien B o ambos a la vez (al mismo tiempo), entonces se aplica la siguiente regla para calcular dicha probabilidad:

El espacio muestral (S) corresponde al conjunto universo en la teoría de conjuntos

Ejemplos:

1. En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. ¿Qué probabilidad existe de sacar en una sola extracción una bola enumerada con un número par o con un número primo?

Solución:

O también, realizando un diagrama de Venn-Euler se obtiene:

2. En una clase, 10 alumnos tienen como preferencia solamente la asignatura de Matemática, 15 prefieren solamente Estadística, 20 prefieren Matemática y Estadística y 5 no tienen preferencia por ninguna de estas asignaturas. Calcular la probabilidad que de un alumno de la clase seleccionado al azar tenga preferencia por Matemática o Estadística o ambas asignaturas.

Solución:

Realizando un diagrama de Venn-Euler se obtiene:

Simbología:

S = espacio muestral

A= Matemática

B = Estadística

a = Solamente Matemática

b = Solamente Estadística

c = Matemática y Estadística

d = Ninguna de las dos asignaturas

Datos y cálculos:

Entonces, aplicando la fórmula de la probabilidad teórica se obtiene:

Regla de la multiplicación

La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes.

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes.

La probabilidad de la intersección de dos eventos A y B que se hacen simultáneamente, es igual al producto de la probabilidad de A dado B por el evento condicionante B matemáticamente seria.

PAB = PA│B * PB

PAB

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