Proyecto Final Fisica

1. INTRODUCCION La física, la más fundamental de las ciencias físicas, tiene como objetos de estudio los principios básicos del universo. Es el cimiento sobre el cual se basan las otras ciencias – astronómicas, biología, química y geología -. La belleza de la física subyace en la simplicidad de las teorías físicas básicas y en la forma en la que solo un pequeño numero de conceptos esenciales, ecuaciones y suposiciones pueden alterar y expandir la visión del mundo en derredor. Toda la física puede dividirse en cinco áreas principales:1. Mecánica clásica, la cual concierne al movimiento simple de los objetos que son grandes en comparación con átomos y se mueven con rapidez mucho mejor que la de la luz.2. Relatividad, que es una teoría que describe a los objetos que se mueven en cualquier rapidez, incluso con rapidez que se acerca a la de la luz.3. Termodinámica, la cual trata del calo, trabajo, temperatura y del comportamiento estadístico de un gran numero de partículas.4. Electromagnetismo, relacionado con la electricidad, magnetismo y campos electromagnéticos.5. Mecánica quántica, una colección de teorías relacionadas con el comportamiento de la materia a niveles tanto micro como microscópicos. El presente Trabajo Investigativo trata el capitulo de la mecánica clásica, la que a veces se refiere como mecánica newtoniana o simplemente mecánica. Este es un lugar apropiado para comenzar el estudio y tratamiento de la física a su mas amplio estilo y mediante el uso de todas las herramientas y modelos matemáticos la disposición; puesto que muchos de los principios básicos usados para comprender los sistemas mecánicos pueden ser usados posteriormente para describir fenómenos naturales como las ondas y la transferencia de energía. Además, las leyes de conservación de la energía y el momento introducidos en mecánica retienen su importancia en las teorías fundamentales de otras áreas de la física. En la actualidad, la mecánica clásica es de vital importancia para los estudiantes de todas las disciplinas. Es enormemente exitosa al describir los movimientos de diferentes cuerpos como planetas, cohetes y pelotas de béisbol. Al desarrollar la presente tesis se describirán las leyes de la mecánica clásica, y se examinara una amplia gama de fenómenos que pueden comprenderse con estas ideas fundamentales. Para ello, como un primer paso en el estudio de la mecánica, es conveniente describir el movimiento en términos del espacio y el tiempo, sin tomar en cuenta los agentes presentes que lo producen. Esta parte de la mecánica recibe el nombre de cinemática. En este trabajo de investigación se considera el movimiento a lo largo de una línea recta, es decir, el movimiento unidimensional. Indica con el concepto de desplazamiento analizado durante el bachillerato, y se definen primero velocidad y aceleración. 1

2. Después, con estos conceptos se estudia el movimiento de objetos que viajaban enuna dimensión bajo una aceleración constante.A partir de la experiencia cotidiana nos damos cuenta que el movimiento representa elcambio continuo en la posición de un objeto. La física estudia tres tipos de movimiento:traslacional, rotacional y vibratorio.Un auto que se mueve por una autopista experimenta un movimiento traslacional, elgiro diario de la Tierra sobre su eje es un ejemplo de movimiento rotacional, y elmovimiento hacia adelante y hacia atrás de un péndulo es un ejemplo de movimientovibratorio.En esta investigación se estudiará solo el movimiento traslaciones rectilíneo. Enmuchas situaciones podemos tratar al objeto en movimiento como una partícula, loque en matemáticas define como un punto sin tamaño."EL ESTUDIO, ANALISIS Y RESOLUCION DE EJERCICIOS SOBRE CINEMATICADE LA PARTICULA EN UNA TRAYECTORIA RECTILINEA APLICANDOMATEMATICAS SUPERIORESMARCO REFERENCIALActualmente, el avance informático, la simulación, de la mano de las estructurasalgorítmicas y modelos matemáticos que permiten explicar los fenómenos que ocurrenen la naturaleza a nuestro alrededor, han variado y mejorado las expectativas delinvestigador, permitiéndole emitir criterios mejor fundados y con menor margen deerror.El principio del problema esta basado en que toda la vida estudiantil se enmarca en elmodelo de educación tradicionalista en todas las materias, y en nuestro caso particularen la materia de física, los contenidos en gran parte son meramente teóricos, lamayoría de los temas que nos facilitan no guardan relación con la vida diaria, ni con sufutura aplicación universitaria; encerrándonos en un ámbito instrumentalista que noinduce a la creación del razonamiento formal, reduciendo a su más mínima y repetitivaexpresión a la investigación del estudiante.Génesis del ProblemaEstado Actual del Problema.El problema esta en estado latente a través de los conocimientos previos adquiridosen el bachillerato a quedado claro el esquema de la discusión de la cinemática de lapartícula, pero es importante llegar más allá a través de una investigación participativa,de la observación crítica y de un profundo estudio bibliográfica.En muchos casos como estudiantes no conocemos la aplicación del cálculo diferencialen la física, conformándonos con realizar simples resolución de ejercicios con la cualdefinimos el valor de una magnitud incógnita.Gran parte de los estudiantes no sabemos para que sirve o en que se aplica estosconocimientos para la resolución de problemas en el movimiento unidimensional 2

3. Todo este marco teórico y práctico deja abierto en terreno fecundo para la investigación. Conocer mas a fondo todas y cada una de las aplicaciones del cálculo diferencial e integral, gráficas, aplicaciones e interpretaciones geométricas respecto al movimiento unidimensional de la partícula para tener una idea clara de los fenómenos que ocurren a diario en nuestro entorno. El desarrollo del tema nos permitirá en futuro inmediato cubrir con el mínimo de conocimientos necesarios para un óptimo desempeño en los estudios superiores. Objetivos General. Objetivos. Realizar un análisis profundo dentro de cinemática en lo que refiere al movimiento a lo largo en una línea recta, es decir, el movimiento unidimensional. Profundizar el análisis del movimiento transnacional tratando al objeto como una partícula, para conocer: Su movimiento, trayectoria, velocidad y aceleración. Realizar graficas posición – tiempo, velocidad – tiempo, aceleración – tiempo Aplicar correctamente las ecuaciones para los movimientos con aceleración lineal constante. Distinguir desde el punto de vista cinemática el M.R.U.; M.R.U.V. Resolver problemas de M.R.U. y M.R.U.V. a nivel vectorial utilizando conceptos de cálculo diferencial, cálculo integral, geometría plana y analítica, trigonometría, etc.….1. Objetivos específicos 1.1 Investigar, la bibliografía existente respecto al tema en busca de un estudio y análisis de la misma conectar los conocimientos previos adquiridos con la estructura de la física en su amplia concepción la cual obliga un conocimiento matemático de nivel intermedio. 1.2. Analizar, plantear y resolver ejercicios referentes al tema haciendo uso de los elementos adquiridos a través de la presente investigación. 3

4. 2. MARCO TEÒRICO1. Movimiento La mecánica trata las relaciones entre fuerza, materia y movimiento; nos disponemos a analizar los métodos matemáticos que describen el movimiento. Esta parte de la mecánica recibe el nombre de cinemática. Las siguientes son consideraciones que fundamentan dicho estudio: El movimiento puede definirse como un cambio continuo de posición. En el movimiento real de un cuerpo extenso, los distintos puntos del mismo se mueven siguiendo trayectorias diferentes, pero consideraremos en principio una descripción del movimiento en función de un punto simple (partícula). Tal modelo es adecuado siempre y cuando no exista rotación ni complicaciones similares, o cuando el cuerpo es suficientemente pequeño como para poder ser considerado como un punto respecto al sistema de referencia. El movimiento más sencillo que puede describirse es el de un punto en línea recta, la cual haremos coincidir con un eje de coordenadas. Desplazamiento, velocidad y aceleración Para comprender como se mueven los objetos cuando actúan en ellos fuerzas y momentos de rotación externos no equilibrados, es importante configurar exactas imágenes físicas y matemáticas del desplazamiento, la velocidad y la aceleración, comprender las relaciones entre estas tres cantidades. En el proceso se imaginará un sistema que comprende tres ejes coordenados mutuamente perpendiculares y un pequeño cuerpo en movimiento, que en el curso del tiempo, describe alguna clase de trayectoria en el espacio de coordenadas. El principio, no se tendrá interés en las fuerzas que provoca este movimiento, ni en la relación entre estas causas físicas y la trayectoria resultante. En vez de ello, se supondrá que se conoce una ecuación de movimiento que puede resolverse para dar información explícita en todo momento acerca de la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula. Sólo se considerarán los aspectos geométricos del movimiento, cuyo estudio se llama cinemática. Inicialmente se supone que, de alguna manera, la partícula objeto del estudio está limitada a moverse sólo a lo largo del eje x. Entonces se puede describir su posición en cualquier instante t por medio de la distancia xentre el origen y la partícula, como hay un valor bien definido de x asociado a cada valor t del tiempo, x es una función de t. Por lo anterior será posible representar gráficamente el desplazamiento x en función del tiempo y obtener una gráfica como la de la figura (2.1) Desplazamiento de un objeto que se mueve sobre el eje x graficado en función del tiempo. La cantidad ∆x/∆t representa la velocidad media en el intervalo de tiempo ∆t, mientras que el límite de esta cantidad cuando ∆t tiende a cero, que es la derivada dx/dt, representa la velocidad instantánea en el tiempo t. 4

5. La velocidad media durante un intervalo de tiempo pude obtenerse determinadola distancia que recorre la partícula en ese intervalo, y observando que (2.2.1) De la figura 2.1 es claro que es la tangente del ángulo θ, por lo que representatambién la pendiente de la secante PQ que une los dos puntos de la curva quecorresponde al tiempo t y al desplazamiento x + .Ahora podrá definirse la velocidad instantánea vx asociada a un instante t y eldesplazamiento correspondiente x, como el límite de cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. Pero esto es precisamente la definición de la derivada de x conrespecto a t; entonces, (2.2.2)La velocidad instantánea puede considerarse como la pendiente de la tangente en P ala curva de la figura 2.1.Es claro que conforme ∆t y ∆x tienden a cero en el límite, la pendiente de la secantePQ se aproxima a la pendiente de la tangente a la curva en P.Por la ecuación (2.2.2), se puede considerar que la velocidad instantánea Vx es larapidez de variación del desplazamiento.Fácilmente se demuestra que si la velocidad instantánea es constante, entonces lavelocidad media un intervalo de tiempo es igual a la velocidad instantánea.Si la velocidad instantánea no fuese constante, entonces la velocidad dependerá delintervalo tiempo escogido y, en general, no será igual a la velocidad instantánea alprincipio o al final del intervalo.También se puede hablar de la aceleración media āx durante cierto intervalo, como elcambio en la velocidad instantánea que experimenta la partícula durante aquél,dividido entre la duración del mismo,.. ; entonces,Como antes, la aceleración instantánea ax asociada al tiempo t se considera como ellímite de ax conforme el intervalo tiende a cero, es decir, como la derivada de vxcon respecto a t, o bien en vista de (2.1.2), como la segunda derivada de x conrespecto a t:En consecuencia, se puede decir que la aceleración instantánea es la rapidez devariación de la velocidad instantánea. 5

6. Si se graficara la velocidad vx como función del tiempo (y no del desplazamiento), seencontraría que la pendiente dvx/dt en cualquier punto sería igual a la aceleracióninstantánea en el tiempo correspondiente.Utilizando (2.2.2) y (2.2.4) es posible expresar la aceleración ax en forma ligeramentedistinta, lo que a menudo es muy útil.Escribiendo dv/dt = (dvx/dx) (dx/dt), que equivale a multiplicar dvx/dt por dx/dx (esdecir, por la unidad), se obtiene:Se verá que esta relación sirve para encontrar el desplazamiento en términos de lavelocidad, o viceversa.NOTA :De aquí en adelante se usarán poco la velocidad media o la aceleración media, y amenos que se especifique lo contrario, los términos velocidad o aceleración sereferirán a los valores instantáneos de estas cantidades.GRÀFICA DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÌCULA EN EL ESPACIODesplazamiento de un punto que se mueve a lo largo de una trayectoria arbitraria en elespacio coordenado tridimensional. El vector ∆r/∆t es la velocidad media durante elintervalo , en tanto que la derivada dr/dt. (Que se obtiene en el limite cuando→0, representa el vector velocidad instantánea al tiempo t) (Figura 2.2)Si no se confina el movimiento de la partícula al eje x aquella describirá una ciertacurva o trayectoria en el espacio, como se muestra en la figura2.2. En el tiempo t, lapartícula estará en algún punto P cuyas coordenadas espaciales son (x, y, z); y eneste momento se puede describir su desplazamiento con respecto al origen medianteun vector de posición r, cuyas componentes según los ejes coordenados son x, y e z,respectivamente. Entonces el vector de posición r en el tiempo t esEn un tiempo posterior t + , la partícula se habrá movido a lo largo de su trayectoriahasta un punto Q de coordenadas ( x + x, y + y, z + z). El vector de posiciónr+ r asociado a Q es:r+ r =(x + x)i +(y + y)j +(z + z)k (2.2.7)En forma análoga a (2.1.1) la velocidad media puede explicarse como el vector .Por tanto:Ahora se define la velocidad instantánea v como un vector que exprésale valor límitede v conforme tiende a cero, por lo que: 6

7. o sea que,La velocidad instantánea es, entonces, un vector cuyas componentes x, y y z son:La dirección de este vector es la dirección límite del vector r cuando t 0; esdecir, conforme Q se mueve a lo largo de la curva hacia P. De la figura 1.2 es evidenteque en este límite la dirección r es la de la tangente a la trayectoria en P.En consecuencia, la dirección de v también es la dirección de la tangente a latrayectoria en P.Desde luego, la expresión: es el módulo de la velocidadAhora se puede utilizar precisamente el mismo método para estudiar la aceleración. Elvector velocidad V en el tiempo t es: (2.2.12)En que (2.1.10) de vx’ vy y vz’ en tanto que en el tiempo t+ t, la velocidad serà: (2.2.13)La aceleración media en el intervalo t es v/ tPor lo que: =La aceleración instantánea en el tiempo t se obtiene evaluado la aceleración media enel límite cuando t 0. Como en (1.19), las relaciones vx/ t, vy/ t, etc., seconvierten en derivadas en este límite, y el resultado final es: 7

8. La aceleración instantánea a es un vector cuyas componentes son:La dirección del vector aceleración es la del vector dv que representa el cambio de lavelocidad en un intervalo de tiempo infinitesimal. No es el necesario que este vectortenga la misma dirección que el vector velocidad v, y en realidad, generalmente no latiene.Como siempre, la magnitud del vector aceleración está dada por: (2.2.17)Como antes, usando el mismo razonamiento algebraico, es posible demostrar que lascomponentes de la aceleración se pueden escribir en la forma alternativaAl resolver problemas reales en la dinámica de estados físicos, se podrán determinarlos valores de las campos Fundamento TeóricoLa cinemática se ocupa de la descripción del movimiento sin tener en cuenta sus causas.La velocidad (la tasa de variación de la posición) se define como la distancia recorridadividida entre el intervalo de tiempo. La magnitud de la velocidad se denominaaceleración, y puede medirse en unidades como kilómetros por hora, metros porsegundo, ... La aceleración se define como la tasa de variación de la velocidad: elcambio de la velocidad dividido entre el tiempo en que se produce. Por tanto, laaceleración tiene magnitud, dirección y sentido, y se mide en unidades del tipo metrospor segundo cada segundo.En cuanto al tamaño o peso del objeto en movimiento, no se presentan problemasmatemáticos si el objeto es muy pequeño en relación con las distancias consideradas. Siel objeto es grande, se emplea un punto llamado centro de masas, cuyo movimiento 8

9. puede considerarse característico de todo el objeto. Si el objeto gira, muchas vecesconviene describir su rotación en torno a un eje que pasa por el centro de masas.Existen varios tipos especiales de movimiento fáciles de describir. En primer lugar, aquél en elque la velocidad es constante. En el caso más sencillo, la velocidad podría ser nula, y laposición no cambiaría en el intervalo de tiempo considerado. Si la velocidad es constante, lavelocidad media (o promedio) es igual a la velocidad en cualquier instante determinado. Si eltiempo t se mide con un reloj que se pone en marcha con t = 0, la distancia d recorrida avelocidad constante v será igual al producto de la velocidad por el tiempo: d = vtOtro tipoespecial de movimiento es aquél en el que se mantiene constante la aceleración. Como lavelocidad varía, hay que definir la velocidad instantánea, que es la velocidad en un instantedeterminado. En el caso de una aceleración a constante, considerando una velocidad inicialnula (v = 0 en t = 0), la velocidad instantánea transcurrido el tiempo t será v = atLa distanciarecorrida durante ese tiempo será d = at2Esta ecuación muestra una característicaimportante: la distancia depende del cuadrado del tiempo (t2, o “t al cuadrado”, es la formabreve de escribir t × t). Un objeto pesado que cae libremente (sin influencia de la fricción delaire) cerca de la superficie de la Tierra experimenta una aceleración constante. En este caso, laaceleración es aproximadamente de 9,8 m/s cada segundo. Al final del primer segundo, unapelota habría caído 4,9 m y tendría una velocidad de 9,8 m/s. Al final del siguiente segundo, lapelota habría caído 19,6 m y tendría una velocidad de 19,6 m/s.a) Una "partícula" que se mueve de P a Q tiene velocidad vi en t = ti y velocidadvf en t = tf.b) Grafica velocidad-tiempo para la partícula moviéndose en una línea recta.La pendiente de la línea recta que conecta P y Q es la aceleración promedio en elintervalo de tiempo ∆t= tf - ti.La aceleración promedio de la partícula en el intervalo de tiempo t = tf - tise define como el cociente v/ t, donde v = vf-vi es el cambio de la velocidad eneste intervalo de tiempo: (2.3.2)La aceleración tiene dimensiones de longitud dividida por (tiempo)2, o L/T2.Algunas de las unidades comunes de aceleración son metros por segundo porsegundo (m/s2) y pies por segundo por segundo (pies/s2).De la misma forma que con la velocidad se pueden emplear los signos positivo ynegativo para indicar la dirección de la aceleración cuando el movimiento que seanaliza es unidimensional. 9

10. En algunas situaciones el valor de la aceleración promedio puede ser diferente sobreintervalos de tiempo distintos.Por ese motivo, es útil definir la aceleración instantánea como el límite de laaceleración promedio cuando t se acerca a cero.Este concepto es similar a la definición de velocidad instantánea estudiado, laaceleración instantánea será: (2.3.3)Es decir, la aceleración instantánea es igual a la derivada de la velocidad respecto deltiempo, la cual por definición, es la pendiente de la gráfica velocidad-tiempo (Fig.2.4b).Se puede interpretar la derivada de la velocidad respecto del tiempo como la tasa decambio de la velocidad. Si a es positiva, la aceleración está en la dirección x positiva,pero, si a es negativa indica que la aceleración está en la dirección x negativa.A partir de ahora se empleará el término aceleración con el significado de aceleracióninstantánea.Puesto que v = dx/dt, la aceleración también puede escribirse: (2.3.4)La aceleración instantánea puede obtenerse de la grafica velocidad-tiempo.a) En cada instante, la aceleración en la grafica a contra t.b) Iguala la pendiente de la línea tangente a la curva de v contra t.Es decir, en un momento unidimensional, la aceleración es igual a la segundaderivada de la coordenada x en relación con el tiempo.La aceleración en cualquier tiempo es la pendiente de la grafica velocidad-tiempo en ese tiempo.2.3.3 Relaciones gráficas entre x, v y aLa posición de un objeto que se mueve a lo largo del eje x varía con el tiempo, comose muestra.Con métodos gráficos se obtienen gráficas de la velocidad contra el tiempo y de laaceleración contra el tiempo para el objeto.a) Grafica posición-tiempo para un objeto que se mueve a lo largo del eje x.b) La velocidad contra el tiempo para el objeto se obtiene al medir la pendientedela grafica posición-tiempo en cada instante.c) La aceleración contra el tiempo para el objeto se obtiene midiendo lapendiente de la grafica velocidad-tiempo en cada instante. 10

11. 2.3.4 VELOCIDAD INSTANTÁNEA Y RAPIDEZ Poder definir la velocidad de una partícula en un instante particular del tiempo, en lugar de sólo un intervalo de tiempo, la velocidad de una partícula en cualquier instante de tiempo - en otras palabras, en algún punto sobre una gráfica espacio – tiempo - recibe el nombre de velocidad instantánea. Este concepto tiene una importancia especial cuando la velocidad promedio en diferentes intervalos de tiempo no es constante.a. Conforme el auto se mueve a lo largo del eje x, y Q se acerca a P, el tiempo que tarda en recorrer la distancia disminuye.b. Grafica posición-tiempo para la "partícula". A medida que los intervalos de tiempo se vuelven más y más pequeños, la velocidad promedio para ese intervalo, igual a la pendiente de la línea punteada que conecta P y la Q apropiada, se aproxima a la línea tangente en P. La velocidad instantánea en P es la pendiente de la línea tangente en el tiempo t1 Considérese el movimiento en línea recta de una partícula entre los puntos P y Q sobre el eje x, como se ve en la figura 2.7a. A medida que Q se va acercando más y más a P, el tiempo necesario para recorrer la distancia se vuelve progresivamente más pequeño. La velocidad promedio para cada intervalo de tiempo es la pendiente de la línea punteada correspondiente en la gráfica espacio-tiempo mostrada en la figura 2.7b Conforme Q se acerca a P, el intervalo de tiempo se aproxima a cero y la pendiente de la línea punteada se acerca a la de la línea tangente azul a la curva en P. La pendiente de esta línea se define como la velocidad instantánea en el tiempo ti, en otras palabras, . En la notación del cálculo, este límite se conoce como la derivada de ^respecto de t, y se escribe dx/dk (2.3.6) La velocidad instantánea puede ser positiva, negativa o cero. Cuando la pendiente de la gráfica posición-tiempo es positiva, como en P en la figura 2.8, v es positiva. En el punto R, v es negativa puesto que la pendiente también lo es. Por último, la velocidad instantánea es cero en el pico Q (el punto de retorno), donde la pendiente es cero. De aquí en adelante se empleará la palabra velocidad para designara la velocidad instantánea. Cuando interese la velocidad promedio, se empleará siempre el adjetivo promedio. La rapidez de una partícula se defines como la magnitud de su velocidad. La rapidez no tiene dirección asociada y, en consecuencia, no lleva signo algebraico. Por ejemplo, si una partícula tiene una velocidad de +25 m/s y otra partícula tiene la velocidad de –25m/s, las dos tiene una rapidez de 25m/s. El velocímetro de un automóvil indica la rapidez, no la velocidad. 11

12. También es posible utilizar una técnica matemática conocida como integración paradeterminar el desplazamiento de una partícula si se conoce su velocidad como unafunción del tiempo. Debido a que quizá los procedimientos de integración no seanfamiliares para muchos estudiantes, el tema se trata (opcionalmente).EJEMPLO El proceso de límiteLa posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje x varía en el tiempo deacuerdo con la expresión x = (3 m/s2) t2, donde x está en metros y t en segundos.Encuentre la velocidad en cualquier tiempo.Razonamiento y solución La gráfica posición-tiempo para este movimiento semuestra en la figura 2.9 se puede calcular la velocidad en cualquier tiempo utilizandola definición de la velocidad instantánea (ecuación 2.3.5). Si la coordenada inicial de lapartícula al tiempo t es xi = 3t2, entonces la coordenada a un tiempo posterior t + tes:x =3(t+ t)2=3[t2+2t t+ ( t)2]=3t2+6t t+3( )2Por tanto, el desplazamiento en el intervalo de tiempo t es x = X - xi = 3t2 + 6t t + 3( t)2 – 3t2=6t t+ 3( t)2La velocidad promedio en este intervalo es: = = 6t + 3 tPara encontrar la velocidad instantánea, se toma el límite de esta expresión conforme t se acerca a cero, como muestra la ecuación 2.9. Al hacerlo así, vemos que eltérmino 3 t se va a cero, por lo que:Advierta que esta expresión brinda la velocidad en cualquier tiempo t. Nos indica que vcrece linealmente en el tiempo. Por ello se encuentra directamente la velocidad enalgún tiempo específico de la expresión v = (6 m/s2) t. Por ejemplo, si t = 3.0 s, lavelocidad es v= (6 m/s2) (30.5) = + 18 m/s. De nuevo, esto puede verificarse a partirde la pendiente de la gráfica (la línea verde) en t=3.0s.El proceso límite también puede examinarse numéricamente. Por ejemplo, con lasexpresiones para xy se puede calcular el desplazamiento y la velocidad promediopara diversos intervalos de tiempo que inicien en t = 3.0 s. Los resultados de estoscálculos se presentan en la tabla 2.3.4.1 a medida que los intervalos de tiempo sevuelven más y más pequeños, la velocidad promedio se acerca al valor de la velocidadinstantánea en t = 3.0 s, es decir, +18 12

13. EXPERIMENTOUn auto parte del reposo y se desplaza con una aceleración de 1m/seg² durante 1 seg.Luego se apaga el motor y el auto desacelera debido a la fricción, durante 10 seg, a unpromedio de 1/20 m/seg². Entonces se aplican los frenos y el auto se detiene en 5segundos más. Calcular la distancia total recorrida por el auto.Solución:a = 1m/seg² t = 5 seg.T = 1 seg. t = 10 seg. A = ?Para el primer tramo:Datos:V0 = 0, V1 = ??, a = 1 m/seg², t = 1 seg, x = ??Se sabe: de donde: ...... (1)Luego la velocidad final (v1) será:V1 = v0 + at V1 = 0 + (1)(1) = 1 m/seg ..... (2)Para el segundo tramo.Datos:V1 = 1 m/seg, v2 = ?., a = - m/seg²,t = 10 seg, x = ? 13

14. Sabemos: de donde:Luego la velocidad final (V2) será:V2 = v1 + at de donde: v2 = 0.5 m/seg ... (4)Para el tercer tramo.Datos:V2 = 0.5m/seg, v3 = 0, a = ??, t = 5 seg, x = ??Sabemos: de donde: ..... (5)En consecuencia: de donde: ....... (6)sumando (1) + (3) + (6):x = 0.5 + 7.5 + 1.25x = 9.25 m. 14

15. EXPERIMENTO IINo es un mal lanzamiento para una novato.Una piedra lanzada desde el techo de un edificio adquiere una velocidad inicial de 20.0 m/sen línea recta hacia arriba. El edificio tiene 50 m de altura y la piedra libra apenas el techoen su trayecto hacia abajo, como se muestra en la figura 2.14. Determine a)el tiemponecesario para que la piedra alcance su máxima altura, b) la altura máxima, c)el tiemponecesario para que la piedra regrese al techo del edificio, d) la velocidad de la piedra en eseinstante, y e) la velocidad y posición de la piedra en t = 5.00s. La posición y la velocidad contra el tiempo para una partícula que caelibremente y que se lanzó inicialmente hacia arriba con una velocidad de v0 =20m/sPlanteamiento y solución:a) Para encontrar el tiempo necesario para que la piedra alcance la altura máxima seemplea la ecuación v = vo – gt, observando que v = d en la altura máxima:20.0 m/s – (9.80 m/s²)t1 = 0 15

16. b) Este valor del tiempo puede sustituirse en la ecuación, para producir la altura máximamedida desde la posición del lanzador:= 20.4 mc) Cuando la piedra regresa a la altura del techo del edificio, la coordenada y es cero. Con laecuación, y = 0, se obtiene0 = (20.0 m/s)t – (4.90 m/s²)t²Esta es una ecuación cuadrática y tiene dos soluciones para t la ecuación puede factorizarse: t(20.0 – 4.90t)= 0Una solución es t = 0, correspondiente al tiempo que la piedra inicia su movimiento. Laotra solución es t = 4.08s, que es la solución buscando.d) El valor para t encontrado en c) puede utilizarse en la ecuación para obtenerv = v0 – gt = 20.0m/s – (9.80m/s²) (4.08s)= -20.0 m/s, la Observe que la velocidad de la piedra cuando llega de regreso a su altura original esigual en magnitud a su velocidad inicial pero opuesta en dirección, lo cual indica que elmovimiento es simétrico.e) De la ecuaciónvelocidad después de 5.00 s esv = v0 – gt = 20.0m/s – (9.80m/s²) (5.00s)= -29.0m/sPodemos usar la ecuación para encontrar la posición de la partícula en t = 5.00 s:, = (20.0m/s) (5.00)s – ½(9.80m/s²) (5.00)² = -22.5m 16

17. . CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONESCONCLUSIONESLuego de llevada a cabo la presente investigación, al desarrollar cada uno de suspasos, con el constante esfuerzo entregado a la misma, se ha llegado al final de esteinteresante y enriquecedor proceso; por ello, merece mencionar que dado el carácterdel trabajo, su demostración va implícita en la misma experiencia que como autor heconseguido, tal cual en la historicidad y análisis, previos a diagnosticar el tema, se hasubido un par de escalones en relación a la concepción de la ciencia física, la cualbien vista y sin rebajarse a su instrumentalidad medieval, por sí sola, es mas que unquehacer de asignar números que codifiquen a los fenómenos naturales; es pilar y esfrontera, da lazos y abre puertas, es un laberinto y es camino; hoy, por todo ello queengloba, estoy en capacidad de emitir el criterio que ha nacido al rondar por lospasajes que se han recorrido en el presente proceso de investigación.Tal como se ha manifestado el criterio del autor, sin ser verdad absoluta, ni paradigmasin par, las siguientes son conclusiones válidas que se interrelacionan como acontinuación se expone respecto a las hipótesis que durante este formal avance sehan pretendido demostrar:El tema Cinemática de la partícula, tratado en el primer año de bachillerato, se hareducido a una simple instrumentación de definiciones aplicables, casimecánicamente, sin llevar al estudiante en la mayoría de los casos a un verdaderoprimer análisis, que en base a su propio esfuerzo le permita generar una culturaentorno al tema, la cual le libraría de más de un grave error que se cometen almomento de emitir un juicio que permita elevar una idea, en el instante de resolver unejercicio de aplicación.Se concluye, que cualquier estudiante que desee profundizar respecto al temaestudiado, deberá primero analizar su entorno matemático, la estructura sobre la cuala fundamentado el conocimiento de la Física; pero, sin lugar a duda, sea cual fueredicho antecedente, todo estudiante se encuentra en capacidad de asumir el reto; másaún, cuando hoy existe como se demostró infinita gama de posibilidades, bibliografía,foros virtuales, motores de búsqueda en la red INTERNET; ETC…., lo que siguensiendo actual es que quien paga el precio del esfuerzo, dedicación, asume un métodoy es sistemático en su intento, seguro obtendrá buenos y óptimos resultados.Es evidente, que actualmente guiar y ser guiado van de la mano, la información viajaen progresión geométrica, se concluye entonces que todo lo que nos rodea en relaciónal tema tratado, enriquece y da múltiples matices, ángulos y formas de interpretar elfenómeno de la cinemática de traslación; mas, todos convergen en la estructuraestablecida que vuelve a sus bases y se potencia cuando se la reconoce dentro de laaplicación del cálculo matemáticoUna consecuencia del análisis realizado a bibliografía técnica, actualizada y autorizadapor su reconocimiento a nivel mundial, es el adoptar como propios varios modelos yesquemas de planteo, pasos, secuencia lógica; y muchos otros aspectos al momentode resolver un problema.Cuando uno ve la orilla del mar y nada en ella, piensa "el mar es seguro y no meahogaré"; en altamar solo antagónica puede ser la visión al respecto, al terminar nacela conclusión de que no por mucho investigar se esta en la punta de la pirámide,siempre abra algo más; y, alguien que este por encima observándonos.Teóricamente el objeto debe seguir una trayectoria vertical dada por la ecuación. 17

18. Dada las variables recogidas en la práctica pudimos establecer los tiempos delanzamiento y la altura en la cual fue lanzado..2 RECOMENDACIONESUna recomendación clara y sencilla es incentivar a la juventud a la auto consulta, locual da como resultado la personalización de la educación para enfrentar el mundoque esta lleno de cambios y enigmas que los debemos comprender para estaractualizados los mismos que nos permiten vivir en un siglo globalizado en el cual lainformación viaja de una manera vertiginosa y puede ser fácilmente modificada.La recomendación para el lector es que no hemos realizado un solucionarlo, nitampoco se propone el único camino para el estudio del tema tratado, se deberecordar que este fue un trabajo de nivel intermedio que conlleva al conocimientobásico necesario para el tratamiento del tema objeto de la investigaciónEs importante recalcar que a la ciencia física se la debe tratar sin creer que es elsimple hecho de aplicar formulas o memorizar esquemas, definiciones, conceptos;sino mas bien, asumir la postura de autocrítica continua en búsqueda de la creaciónde un razonamiento lógico propiamente de la aceleración ax’ ay y az’ a partir de lasleyes del movimiento expresadas como un sistema de ecuaciones de movimiento.Entonces será posible obtener las componentes de la velocidad por integración, yaque de (2.2.16)Al evaluar las integrales se obtiene una constante de integración que no puededeterminarse a menos que se conozca de antemano el valor de la velocidad en untiempo específico.A menudo se encontrara que se conoce o puede especificar la velocidad inicial(cuando t=0).De modo que para obtener los valores precisos de la velocidad en todo tiempo, esnecesario conocer (además de las ecuaciones de movimiento que dan la aceleración)algo acerca de la velocidad en algún momento o lugar determinado.A esta información complementaria se la llama condición en la frontera.Una vez evaluadas las componentes de la velocidad a partir de la aceleración dada,con ayuda de una condición en la frontera adecuada será posible evaluar eldesplazamiento de la partícula integrando nuevamente. 18

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