RESUMEN ESTADISTICA II

ESTADISTICA II

INFERENCIA ESTADÍSTICA: conjunto de métodos y técnicas que permiten inducir a partir de la información proporcionada por una muestra cual es el comportamiento de una determinada población con un riesgo de error medible en término de probabilidad

MUESTRA: subconjunto de la inferencia estadística

MEDIA ARITMETICA de la muestra a partir de una muestra podemos obtener información de toda la población muestra segremtativa para enviar SESGOS en la información:

• Sesgo de un estimador es la diferencia entre su esperanza matemática y el valor numérico del parámetro a estimar ( estimador – la media = E [^μ] – μ )
• NULO es insesgado (su esperanza es igual al parámetro a estimar ) un estimador es insesgado cuando al restarle la media el resultado es cero E [^μ] – μ = 0)
• NO TIENE SESGO es deseable en los estimadores

ESTIMACIONES: 1) forma de aproximación al todo === POBLACION mediante muestras == ESTIMADOR PUNTUAL

ESTADISTICO Y DISTRIBUCION MUESTRAL = necesitamos una muestra para estudiar la población

• ESTADISTICO: en lo que nos basamos para el estudio y será una variable aleatoria (V.A. asociada siempre a X y σ) de la población dependiendo de la muestra

• MEDIA MUESTRAL = X (μ) =       y CUASIVARIANZA ^S2 o σ2  = [pic 1][pic 2]

DISTRIBUCION EN EL MUESTREO: distribución de la probabilidad en la variable aleatoria (V.A.)

• DE LA MEDIA MUESTRAL (μ) //mu// cada elemento de la muestra (Xi) es una variable aleatoria (V.A.) con misma media y varianza (varianza poblacional = cuasivarianza muestral) que la población de la que se extrae
• Cada elemento de la muestra se distribuye según modelo probabilístico normal (tabla normal = Zα o tn-1;α /t studen/ )se cumple que n = normal
• MEDIA MUESTRAL es el estadístico X =   ==== ∑ este símbolo significa el sumatorio del total[pic 3]
• LA VARIABLE ALEATORIA SIMPLE (v.a.s) esta asociada a  

• X = MEDIA
• σ 2 VARIANZA == poblacional    /// ^S 2 CUASIVARIANZA == muestral

FORMULA DE LA MEDIA = E (X) = E ( ) =  * E (∑xi) =  * ∑ E (xi) =  *n*μ = μ[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

INSESGADEZ = E(μ1)-μ = 0   (es insesgado)

• EJEMPLO: supongamos una M.A. tamaño 3 x1 , x2, x3 procedente de población con media μ ¿ ES ^μ  un estimador insesgado? ¿ es E [^μ] = μ? INSESGADO= siempre que al restarle la μ (media) nos de cero[pic 8]

E( ) = E  [X1+X2-3X3] =    (E[X1]+E[X2]-E[3X3])=    (E[X1]+E[X2]-3E[X3]) =    ( μ+μ-3μ)  =  (-μ) = COMO NOS DA ESTO NO ES INSESGADO[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

HACEMOS EL SESGO : (restamos al estimador la media ) SESGO (^μ) = E[^μ]-μ =  = =  (SESGO)[pic 16][pic 17][pic 18]

• EJEMPLO 2: supongo m.a. de tamaño tres x1,x21x3 procedente de población con media  μ ¿ es ^μ = = X un estimador insesgado de μ? ¿ E[^μ] =μ?[pic 19]

INSESGADEZ (restarle al estimador la media para ver si es insesgado)

E [μ] 1= E(  ) =  E [X1+X2+X3] = (E [X1]+E[X2]+E[X3]) =  (μ+μ+μ) =  (3μ) =  = 1μ = μ (estimador) [pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

SESGO (E[^μ] – μ )= ^μ – μ = 0 ES INSESGADO PORQUE NOS RESULTA CERO  se cumple E[^μ] – μ = 0 la media estimada es igual a la media de la población

LA VARIANZA σ2 = se puede hallar desviación típica (σ) con raíz cuadrada de la varianza = (Cuasivarianza muestral igual)[pic 26]

• E utiliza para saber la eficiencia entre dos muestras y la más pequeña será la más eficiente
• Solo le afecta la parte que multiplica si tenemos Y= 1+Bxi +2 x2 (afectaría a Bxi)

• EJEMPLO: E(4) = 1+3(4) + 2 (4) = (1+12+8) = 21 === E(4)=21

FORMULA VARIANZA: VAR (X) = VAR    (elevaremos cada elemento al cuadrado) σ2 ò S2[pic 27]

• EJEMPLO: para sacar la eficiencia con la varianza se toman dos muestras : ^μ1= []  // ^μ2= []  [pic 28][pic 29]

• VAR(^μ1)=(  =(  =  VAR (σ2) = REDUCCION=  VAR (σ2)[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]
• VAR(^μ2)=(  =(  =  VAR (σ2) = REDUCCION=  VAR (σ2)[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

COMO ^μ1 es más pequeño que ^μ2 es más eficiente

        EJEMPLO 2 : solo de cómo sacar la varianza (elevando cada elemento al cuadrado)

                VARIANZA DE :  (esta es la muestra) = ^μ == σ2 (^μ) =  )2 VAR X1 +  )2 VAR X2 +  )2 VAR X3 =[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

  VAR X1 +  VAR X2 +  VAR X3 =    [VAR X1 + VAR X2 + VAR X3] =   [σ2 + σ2 + σ2 ] =  [3 σ2 ] =  σ2  = REDUCCION =  σ2   [pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

[pic 50]

σ 2  (poblacional ) = S2  (muestral)  FORMULA [pic 51]

cuando “X” (media)sea normal (tabla distribución normal Zα Ò tn-1;α) con media μ y varianza σ2 entonces la media muestral (X) se distribuye en N (μ;  ) y calculo probabilidad sobre la media [pic 52]

• EJEMPLO: incremento salario trabajadores se distribuye según normal de media 12,4% y desviación típica 3,6% tomamos m.a. de 9 observaciones población ¿ cuál es la probabilidad de que la media muestral sea menor que 10%?

X N (12,4  ;  )  = N (μ ;  ) FORMULA de donde : σ2 = (desviación típica ) = (3,6)2   // μ= (muestra) la media = 12,4[pic 53][pic 54][pic 55]

Calculamos si P (probabilidad) de que la media sea menor a 10%  == P (X < 10) así se pone

1. TIPIFICAMOS : (que es en una distribución normal al proceso de convertirla en normal estándar para consultar las tablas )

 Z=  nos dice que estamos ante una distribución normal y tabla normal [pic 56]

1. COMO SE TIPIFICA :

1. P (Z<1,53) = 0,937 (menor que) se hace normal
2. P (Z ≥ 1,37) = 1-P (Z < 1,37) (mayor o igual que) se quita el = del símbolo ≥ y se pone un 1 restando a la P y cambiamos de lado el signo
3. P (Z ≥ -1,32) = P (Z ≤ 1,2) (mayor en negativo) cambiamos el signo de dirección y le quitamos el negativo
4. P ( Z ≤ -1,37) = P (Z ≥1,3) = 1-P (Z <1,37) (menor o igual que en negativo)  

1. 1) cambio de símbolo del lado y lo quito en negativo
2. 2) como es menor que saco un 1 antes de la P y el signo cambia otra vez

EJEMPLO: P (X < 10) = sustituimos los elementos de la representación para tipificar  

DE DONDE  X= Z   // 10 =   (asociación elementos del paréntesis)[pic 57]

X (media) = Z [pic 58]

X= 10

μ  = 12,4                P(Z< ) = P (Z < -2) =CAMBIO EL SIGNO= P (Z>2) = 0,0228[pic 59]

σ= 3,6

n=9

MEDIA MUESTRAL = SE UTILIZA PARA SUSTITUIR A LA MEDIA POBLACIONAL

ERROR CUADRATICO MEDIO: para calcularlo utilizo la VARIANZA + (SESGO) 2 = el estimador con menor error cuadrático es el mejor

• Estimador mide error al cuadrado lo diferencia entre estimador y lo que se estima (ECM) es una función de riesgo corresponde a la perdida cuadrada para la aleatoriedad estimador no tiene en cuenta más información para ser mas precisa
• Se calcula VARIANZA + (SESGO) 2

EJEMPLO: calcula ECM de ^μ estimador de μ si ^μ = [pic 60]

        VARIANZA (σ2) elevar cada elemento al cuadrado ==( )2 VARX1 +( )2 VARX2 +( )2 VARX3 =  VARX1 + VARX2 + VARX3 =  [VARX1+VARX2+VARX3] =  [σ2 + σ2 + σ2] =  = REDUCCION =  [pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70]

        SESGO (^μ) = E[^μ] =  [X1+X2+X3]  =  [X1]+E[X2]+E[X3]  ) =  =  = μ (ESTIMADOR) E [^μ] – μ = μ-μ=0[pic 71][pic 72][pic 73][pic 74]

ECM (error cuadrático medio) = σ2 + (sesgo)2 =  = [pic 75][pic 76]

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