Suma y resta de vectores por métodos analíticos
Enviado por marfue2001 • 26 de Agosto de 2021 • Prácticas o problemas • 1.151 Palabras (5 Páginas) • 693 Visitas
Tema 6: Suma y resta de vectores por métodos analíticos.
Como habrás visto en las gráficas de vectores, cuando los proyectamos en el plano (x;y) estos tendrán componentes en por lo menos uno de los ejes. Ejemplo:[pic 1]
El vector V tiene una componente y [pic 2][pic 3]
Las componentes de un vector son vectores perpendiculares en las direcciones (x;y). Cualquier vector sobre el plano puede ser descompuesto en sus partes (x;y).
Existe un método matemático (algebra vectorial) que utilizamos para realizar operaciones con vectores, para ello es importante aprender a:
- Descomponer un vector en sus partes
- Componer un vector a la suma de sus partes.
Algebra vectorial:
El matemático Griego Pitágoras fue uno de los primeros en diseñar formulaciones y un método algebraico para entender las figuras geométricas, entre ellas a los triángulos. Los vectores con componentes rectangulares son en esencia triángulos rectángulos, por lo que las leyes de los triángulos rectángulos es la que constituye el álgebra vectorial.
- En todo triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma del área de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.
[pic 4]
[pic 5]
Con esta sencilla ecuación podemos calcular la magnitud del vector c, a partir de las componentes a y b.
Ejemplo: El vector V tiene una componente y . La magnitud del vector es: [pic 6][pic 7][pic 8]
[pic 9]
[pic 10] |
Hay vectores que tienen una sola componente; este es el caso de los que se encuentran en las direcciones NS (vertical) y EO (horizontal). Para ellos, la componente del vector es igual a su magnitud total.
Para descomponer un vector en sus partes, necesitamos saber su magnitud total y su dirección (ángulo y orientación)
Si la hipotenuza y dos de los angulos son conocidos, es posible calcular la magnitud de los catetos. Al ser un triangulo rectangulo, el angulo entre los catetos es recto (90°), De esta manera, con el angulo ya podemos realizar las proyecciones sobre los ejes (x;y).[pic 12][pic 11]
[pic 13]
[pic 14]
Ejemplo: determinar cuantos metros al Este y al Norte, ha dado un explorador cuyo vetor de desplazamiento lo ubica en:[pic 15]
[pic 16]
Descomposicion del vector A | |
Componente hacia el Este | Componente hacia el Norte |
[pic 17] [pic 18] | [pic 19] [pic 20] |
Nota: para identificar si debes usar sin() o cos() debes observar que cateto se encuentra frente al ángulo, para esta usarás seno. Para la otra componente usaras coseno.
En el ejemplo se encuentra frente a el angulo . Por esto se usó para calcular .[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]
Ejemplo de suma y resta de vectores por métodos analíticos.
Los mismos ejemplos utilizados en el metodo grafico serán sumados por el metodo analitico:
- Ejemplo 1:
Sumar los siguientes 3 vectores:
[pic 25] |
[pic 26] |
[pic 27] |
El vector resultante de la suma grafica fue cero. El caminante regresó al origen
Por el método analítico es:
A | [pic 28] [pic 29] [pic 30] [pic 31] |
B | El Oeste se encuentra en los 180° [pic 32] [pic 33] [pic 34] [pic 35] |
C | En la dirección SE: x(positivo) y(negativo) [pic 36] [pic 37] [pic 38] [pic 39] |
El resultado será la suma algebraica de A, B y C en cada una de las direcciones:
[pic 40]
[pic 41]
[pic 42]
[pic 43]
Ambas componentes son igual a cero metros. Eso comprueba el resultado obtenido por el método gráfico.
- Ejemplo 2:
Sumar los siguientes 3 vectores:
[pic 44] |
[pic 45] |
[pic 46] |
El vector resultante obtenido por el método grafico es: [pic 47]
A | El Este se encuentra en los 0° [pic 48] [pic 49] [pic 50] [pic 51] |
B | En la dirección SO: x(-) y(-) [pic 52] [pic 53] [pic 54] [pic 55] |
C | El Norte se encuentra en los 90° [pic 56] [pic 57] [pic 58] [pic 59] |
Realizamos el calculo de las componentes del vector resultante:
...