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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA


Enviado por   •  14 de Noviembre de 2011  •  Prácticas o problemas  •  2.071 Palabras (9 Páginas)  •  437 Visitas

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

CEAD GACHETA

Haciendo uso del módulo, y teniendo en cuenta que una de las características de la educación a distancia es el de ser independiente (es decir, ser capaz de enfrentarse sólo a los conceptos planteados) lea cuidadosamente cada una de las preguntas y responda apropiadamente.

DATOS

La hipérbola se obtiene cuando el plano de corte se pasa vertical por las esquinas de los conos invertidos.

La Hipérbola es un conjunto de puntos en el plano (x, y) cuya diferencia a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Los parámetros de la Hipérbola son: Centro: C (h, k). Equidistante a los vértices. Vértices V y V’ Donde las curvas se dividen en dos partes iguales. Focos: F y F’: Los puntos fijos. Eje Transverso: Una recta que pasa por los vértices y por los focos. Eje Conjugado: Es una recta perpendicular al eje transverso y pasa por el centro. Asíntotas: Dos rectas que pasan por el centro delimitan las curvas de la hipérbola.

Ecuación Canónica: (Eje transverso Horizontal)

Toda hipérbola con eje transverso paralelo al eje de las abscisas y centro en el origen de coordenadas, tiene como ecuación:

X2 Y2

-- — = 1

a2 b2

Ecuación Canónica: (Eje transverso vertical)

Toda hipérbola con eje transverso paralelo al eje de las ordenadas y centro en el origen de coordenadas, tiene como ecuación:

Y2 X2

-- — = 1

a2 b2

Ecuación Canónica Centro Eje transverso Eje

conjugado Vértices Focos P(x,Y) Distancia

Eje transverso vertical

C(0, 0)

El eje y.

El Eje x

V(0, a) y V ‘(0,- a)

F(0, c) y

F ‘(0,- c) Conjunto de puntos que hacen parte de la curva

Por la construcción: a < c d(F F ‘) = 2c

Eje transverso horizontal

C(0, 0

El Eje x

El eje y.

V(a,0) y

V ‘(-a,-0) F(c,0) y

F ‘(- c,0) Conjunto de puntos que hacen parte de la curva

Por la construcción: a < c d(F F ‘) = 2c

ASINTOTAS

En la hipérbola se conocen dos rectas oblicuas que pasan por el centro de la hipérbola, cuya función es orientan la curvatura de la figura. La obtención de la ecuación de dichas rectas, se hace a partir de la ecuación canónica. La obtención de la ecuación se hace despejando la variable y en la canónica.

Se presentan dos casos:

Eje transverso horizontal: las asíntotas de una hipérbola cuyo eje transverso corresponde a la coordenada x son:

Y = (b/a) X Y = ( - b/a) X

Eje transverso vertical: las asíntotas de una hipérbola cuyo eje transverso corresponde a la coordenada y son:

Y = (a/b) X Y = ( - a/b) X

Ejemplo

Hallar los parámetros de la hipérbola que tiene como ecuación:

X2 Y2

-- — = 1

16 4

Solución: De la ecuación dada, 16 = a2 entonces, a = 4 y 4 = b2 entonces b = 2, esto según la ecuación canónica dada para el eje transverso horizontal. Como el valor mayor esta sobre la variable x, el eje transverso esta sobre x y el eje conjugado sobre y. Haciendo uso de las indicaciones que nos dan en la tabla y reemplazando según los datos obtenidos tenemos:

Los vértices: V (4, 0) y V ‘(- 4, 0). Los focos: F(c, 0) y F ‘(-c. 0). Para calcular el valor de c, utilizamos la condición dada en estos casos: b2 = c2 – a2 Despejando c tenemos: c2 = b2 + a2 y reemplazando los datos tenemos: c2 = 4+16 entonces c2 = 20, luego C =20 entonces C =  25

Por lo tanto los focos son: F(2 5, 0) y F'(−2 5, 0). Asíntotas: Y = (b/a) X , Y = ( - b/a) X

Al reemplazar los valores de a y b obtenemos: Y = (2/4) X, Y = ( - 2/4) X simplificando las fracciones quedan: Y = (1/2) X, Y = ( -1/2) X , siendo la gráfica correspondiente la dada a continuación:

−

Ejercicios

Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F (5,0), F’(-5,0), V1(4, 0) y

V2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las asíntotas.

SOLUCION:

________________________________________

Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma: .

En este caso: a = 4; c = 5, de donde (Ver fig. 6.5.13.) En consecuencia, la ecuación de la hipérbola es: .

Ahora,

...

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