Variable Aleatoria Unidimencional

Tema 4

Variable Aleatoria Unidimensional

Definición: Se define como una función que asocia a todo evento del espacio muestral un valor r (w).

[pic 1][pic 2][pic 3]

Dónde: El Dominio de “x” es un subconjunto de Ω y el codominio de “x” ϵ ℝ

La forma de la función responde a la característica del objeto de estudio.

Clasificación: se clasifica por el valor asignado, entonces:

• Variable Aleatoria Unidimensional Discreta: Se la denomina cuando el valor asignado es único dentro de un determinado intervalo.

[pic 4]

[pic 5]

• Variable Aleatoria Unidimensional Continua: Cuando es posible asignar infinitos valores dentro un intervalo.

[pic 6]

Ejemplo: Una urna contiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Se extraen 2 bolas sin reposición, se define la variable aleatoria “x” como la suma de los números obtenidos. Determinar:

1. El dominio de la variable aleatoria “x”.
2. El rango de la variable aleatoria “x”.
3. Encontrar P(x=3), P(x=5), P (6.

Solución [pic 7]

1. D(x)= Ω

D(x)= {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5); (2,3), (2,4), (3,5); (3,4), (3,4); (4,5)}

1. V. A. “x” = ∑ valores de las esferas

R(x) = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

1. P(x=3) = [pic 8]

P(x=5) =  = [pic 9][pic 10]

P (6 = P(x=6) + P(x=7) + P(x=7)

P (6 =  +  +  = [pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

Función o Ley de Probabilidad: Una función o ley de probabilidad se define como una función que asocia a la variable aleatoria una probabilidad. 

[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

El principio de equivalencia nos muestra:        x=x (w) ˄ p (x) →p (w)

Por el teorema de probabilidad total:                W1 U W2 U W3 U W4… U Wk=Ω

• Wj son particiones de Ω

Entonces:        [pic 19]

Por lo tanto:        [pic 20]

Para la Variable Aleatoria Discreta: La función o ley de probabilidad se denomina función de cuantía y es posible tabularla de la siguiente manera:

[pic 21]

Cuya gráfica es:

Se debe verificar que [pic 22]

Función Acumulada de Distribución para la Variable Aleatoria Discreta: se define como la función de distribución como la sumatoria de todas las probabilidades menores e iguales al valor asignado.

Se verifica que:        P(x)= [pic 23]

La gráfica corresponde a:

[pic 24]

Propiedades:

1. P(x≤xo) = P(x=xo)
2. P(x≥xo) = 1 - P(x≤xo)
3. P(a = P(x=b) - P(x=a)
4. P(a≤x≤b) = P(x=b) - P(x=a) + p(x=a)
5. P(a = P(x=b) - P(x=a) - p(x=b)

Ejemplo: Se tiene una urna con 3 fichas enumeradas del 1 al 3 se extrae al azar una ficha, luego se lanza una moneda tantas veces como indica el número de la ficha obtenida si la variable aleatoria “x” representa el número de caras. Determinar:

1. El dominio de la variable aleatoria “x”.
2. El rengo y las probabilidades asociadas.
3. La distribución de probabilidad y su gráfica.
4. La función de probabilidad y su gráfica.

Solución

V.A. “x” = # de caras obtenidas.

1. D(x)= {0, 1, 2, 3}
2. R(x) = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

[pic 25]

P(x=0) = [pic 26]

P(x=1) = [pic 27]

P(x=2) = [pic 28]

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