HISOTORIA DE LA ECUACIONES DIFERENCIALES
Enviado por Mirandavill • 8 de Febrero de 2014 • 12.762 Palabras (52 Páginas) • 300 Visitas
365 Análisis matemático para Ingeniería.
M.MOLERO; A. SAL VA DOR; T. ME NAR GUEZ; L. GA RMEN DIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
El Análisis ha sido durante trescientos años una de las ramas más
importantes de la Matemática, y las ecuaciones diferenciales constituyen la
parte central del Análisis, además es la que mejor permite comprender las
ciencias físicas y la técnica. Las cuestiones que plantean proporcionan una
fuente de teoría e ideas que permiten avanzar al pensamiento.
En este libro se pretende establecer la relación existente entre las
matemáticas puras y las aplicadas, por lo que se ha considerado muy
interesante introducir las ecuaciones diferenciales presentando muchos
ejemplos concretos y situaciones sencillas del mundo real, y de esta forma
conseguir dos objetivos, por un lado la comprensión de la importancia histórica
que las ecuaciones diferenciales han tenido en el desarrollo de la Matemática y
su actual vigencia y relevancia, es decir, el interés que tiene su estudio desde
el punto de vista matemático. Por otro lado, al estudiar modelos válidos para
explicar situaciones sencillas del mundo real, se motiva la aplicación en
contextos diversos y el tratamiento de diferentes cuestiones asociadas a ellos,
como existencia y unicidad de las soluciones de un problema de valor inicial,
estabilidad, problemas de contorno, comportamiento cualitativo de las
soluciones, que explican la solución del problema y permiten generalizar los
resultados. Para que el ingeniero pueda usar con confianza las ecuaciones
diferenciales debe tener un cierto dominio sobre las técnicas de solución y un
conocimiento suficiente sobre la teoría básica.
366 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
© M.MOLERO; A. SAL VA DOR; T. ME N ARGU EZ; L. GARM ENDI A
Las ecuaciones diferenciales aparecen en casi todas las áreas de la
Ingeniería Civil, desde la Resistencia de Materiales hasta la Hidráulica. Pero
también tienen como finalidad básica servir como instrumento para el estudio
del cambio en el mundo físico; por todo esto se exponen aplicaciones tales
como la del problema de la braquistócrona, las leyes de Kepler, el oscilador
armónico, la teoría del potencial, las ecuaciones depredador-presa, la
mecánica no lineal, el principio de Hamilton o el problema mecánico de Abel..., pues el tratamiento matemático de estos problemas es un gran logro para
nuestra civilización.
La razón de esta gran cantidad de aplicaciones se debe a que la derivada
se puede interpretar como el índice de cambio de una variable respecto de la
otra, y las variables que explican los fenómenos se relacionan entre sí por sus
índices de cambio. Al expresar estas relaciones mediante símbolos
matemáticos se obtiene una gran cantidad de ecuaciones diferenciales.
Es interesante detenerse en algunas de las aplicaciones, pues como dice
Simmons1: “... que tratan sobre este tema (ecuaciones diferenciales ordinarias) me hacen pensar en un autobús turístico cuyo conductor conduce a gran
velocidad para cumplir sus horarios, y sus pasajeros tienen pocas o ninguna
oportunidad para gozar del paisaje. Es mejor que lleguemos algunas veces con
retraso; pero que obtengamos un mayor provecho del viaje”. Por ello es
necesario programar cuidadosamente el viaje, para detenerse y gozar de los
mejores paisajes de las ecuaciones diferenciales, aunque procurando llegar sin
retraso.
1 Simmons, F. (1988): Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas
históricas. McGraw-Hill.
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Ecuaciones diferenciales ordinarias 367
Para captar la naturaleza y el interés de las ecuaciones diferenciales y
desarrollar métodos para resolver problemas científicos y técnicos no es
conveniente construir una estructura matemática lógicamente impecable, y si
se tiene presente además los niveles de rigor comentados por Freudenthal es
preciso alcanzar exactamente el nivel de rigor adecuado, sin pasarse ni
quedarse cortos, y en algunas ocasiones, presentar argumentos
razonablemente convincentes, aunque puedan no ser auténticas
demostraciones para el profesorado de matemáticas. La historia proporciona la
génesis de los conceptos, y ya se sabe que muchos grandes matemáticos
cometieron, con la óptica actual, graves errores, pero que sin embargo aportan
noticia de la dificultad que pueden tener esos conceptos cuando
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