Probabilidad y Estadística Distribuciones Discretas de Probabilidad
Enviado por prometh tkth • 11 de Agosto de 2022 • Apuntes • 1.917 Palabras (8 Páginas) • 80 Visitas
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Nacional Experimental del Táchira
Departamento de Matemáticas y Física
Probabilidad y Estadística
Distribuciones Discretas de Probabilidad
San Cristóbal, mayo de 2022
La Importancia de los modelos de probabilidad en la ingeniería
Un tanto natural se hace entender por qué las probabilidades o sus modelos tienen una aplicación importante en cualquier rama o en cualquier campo, probablemente en uno en los que mas tendría importancia sería en el campo de la ingeniería.
La estadística es un estudio de gran importancia en la toma de decisiones y resolución de problemas para diversas áreas de la ingeniería. La naturaleza de las distribuciones de probabilidad, abiertas o cerradas, se puede determinar mediante datos históricos, datos de estudios a largo plazo o grandes cantidades de datos planeados.
Las distribuciones de tipo estándar son comúnmente usadas en el campo, pues frecuentemente se presentan en práctica y son reconocibles. En el caso particular de la distribución binomial, es el modelo matemático más usado para calcular la probabilidad de éxito de un evento cuando la variable a analizar es discreta, es decir, cuando solo existen dos posibilidades (Generalmente éxito o fracaso), debido a esto el modelo binomial es usualmente empleado en los procesos de control de calidad para lotes de producción, el modelo cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, llamados así por el científico y matemático suizo Jakob Bernoulli, estos ensayos tienen una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito.
Modelo Binomial
Para entender el modelo binomial, debemos hablar primeramente del proceso de Bernoulli. Básicamente, un experimento de Bernoulli es aquel que tiene dos resultados mutuamente excluyentes que se denotan por éxito y fracaso con probabilidades p y q =1 – p, respectivamente.
En términos estrictos el proceso de Bernoulli se caracteriza por lo siguiente:
1. El experimento consta de ensayos repetidos.
2. Cada ensayo produce un resultado que se puede clasificar como éxito o fracaso.
3. La probabilidad de un éxito, que se denota con p, permanece constante de un ensayo a otro.
4. Los ensayos repetidos son independientes.
Por lo tanto, decimos que un experimento binomial se puede caracterizar como la extracción de n elementos uno a uno con reposición, de una población finita (N) o infinita dividida en dos categorías. El número X de éxitos en n experimentos de Bernoulli se denomina variable aleatoria binomial. La distribución de probabilidad de esta variable aleatoria discreta se llama distribución binomial y sus valores se denotarán como b(x; n, p), ya que dependen del número de ensayos y de la probabilidad de éxito en un ensayo dado.
Tenemos entonces que, si experimento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q = 1 – p. Entonces, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X, el número de éxitos en n ensayos independientes, es
[pic 1]
Donde, [pic 2]
La esperanza viene dada por la siguiente expresión:
E(X) = np
La varianza viene dada por la siguiente expresión:
V(X) = npq
Con frecuencia nos interesamos en problemas donde se necesita obtener P(X < r) o P(a ≤ X ≤ b). Las sumatorias binomiales
[pic 3]
Se presentan en la tabla A.1 del apéndice del Walpole, 9na ed, pag 726, para n=1,2,…, 20, para valores de p entre 0.1 y 0.9.
Ejemplo.
Los operarios de un taller descansan un 10 % del tiempo de trabajo. Si en el taller trabajan 10 operarios, calcular la probabilidad de que en un momento dado:
- Estén descansando la mitad de los operarios.
Solución
Se define la variable aleatoria:
X = Número de operarios que descansan.
n = número de operarios = 10
p = probabilidad de que un operario descanse = 0.1
Para este caso el valor de X = 5; n = 10, p = 0.1.
Se reemplaza en la fórmula y se tiene lo siguiente:
[pic 4]
- Estén descansando menos de 4 operarios.
Solución
[pic 5]
- Estén descansando más de 4 operarios.
Solución
[pic 6]
- ¿Cuál es el número de operarios descansando más probable?
Solución.
[pic 7]
El más probable es X=1
Modelo Hipergeométrico
La distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta y es útil donde las extracciones se realizan sin reposición, en cuyo caso las pruebas no son independientes.
Características de una distribución hipergeométrica
• El tamaño de la población es finito (N).
• La población se divide en dos características mutuamente excluyentes.
• Cada elemento pertenece a una de estas características.
• Se obtiene una muestra aleatoria de tamaño n sin reemplazamiento.
Función de probabilidad hipergeométrica
Una variable aleatoria hipergeométrica depende de tres parámetros:
N: Tamaño de la población.
k: Número de elementos que pertenecen a la categoría de éxito en la población.
n: Tamaño de la muestra.
N-k= número de elementos que pertenecen a la categoría de fracaso en la población.
[pic 8]
Esperanza y varianza de una distribución hipergeométrica
La esperanza viene dada por la siguiente expresión:
[pic 9]
La varianza viene dada por la siguiente expresión:
[pic 10]
...