Modelo de Ramsey

Tarea No. 1: Modelo de Ramsey

Daniel Barba, David Vásconez, Josué Jácome

Facultad de Economía, Pontificia Universidad Católica del Ecuador

Q0843-03: Macroeconomía II

Dr. Lenin Parreño

02 de marzo de 2022

Tarea No. 1: Modelo de Ramsey

Conceptos básicos:

1. Con un ejemplo matemático explique el concepto de tasa de descuento del consumo y la función de utilidad del individuo en el tiempo

Un joven recibe una herencia de 100 000 USD, sin embargo, no tiene hijos y vive con sus padres, por lo que su tasa de descuento se percibe como ρ = 1.

Al calcular su consumo en un año, si  es el factor de descuento, tenemos que si traemos su consumo futuro al presente: [pic 1]

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Nótese que, dado que su tasa de descuento es alta, preferirá consumir ese dinero en el presente, dado que no tiene incentivos para trasladar su consumo al futuro. Cabe mencionar que, si se sigue aumentando la tasa de descuento, incrementará la impaciencia por consumir en el presente.

Considere ahora que la tasa de crecimiento poblacional es igual a, manteniendo la misma tasa de descuento, considerando que ,  y que , es decir que la función de utilidad es lineal, tenemos que: [pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

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[pic 10]

Al integrar la función al infinito positivo tenemos que la utilidad que genera el consumo de 100 000 USD a lo largo del tiempo es de:

 [pic 11]

Nótese que, si la tasa de descuento disminuye, la utilidad del consumo en el tiempo de los 100 000 aumenta, por ejemplo, si ρ=0,5, la utilidad a lo largo del tiempo es:

 [pic 12]

1. En qué consiste y cuál es la utilidad de los Hamiltonianos en los modelos económicos

De acuerdo con Bardey y Bonnet (200, p.4) un hamiltoniano es “la suma del valor instantáneo del objetivo y de los valores futuros de este objetivo teniendo en cuenta la variación del vector de estado, ponderada por el precio asociado a esta variación”, sabiendo que el hamiltoniano del modelo de Ramsey es:

[pic 13]

Concluimos que la función de utilidad de las familias es el valor instantáneo de la función objetivo y la segunda parte del hamiltoniano son los valores futuros de la función objetivo teniendo en cuenta la variación del vector de estado (λ). Nótese que el hamiltoniano es una función que permite el cálculo de 3 variables a través del tiempo (a diferencia de la función lagrangiana que permite 2 y es estática) y de acuerdo con Herrera et al. (2016, p.175), “λ es un multiplicador dinámico de Lagrange […)”.

En la economía los hamiltonianos permiten resolver problemas de optimización dinámicos, lo que permite facilita el estudio de la evolución de sistemas a través del tiempo, como el modelo de Ramsey (Barney y Bonnet, 2016).

1. Demuestre matemáticamente en qué consiste y cuál es la utilidad en economía de los diagramas de fase. Exponga con un ejemplo.

De acuerdo con Armando Blanco del Rosario (2007), los diagramas de fase parten de un sistema de dos ecuaciones diferenciales tal que tenga  y , siendo  el movimiento de una variable en el tiempo respecto al eje de las ordenadas y  el movimiento dinámico de la variable en el eje de las abscisas -nótese quedado que   y   son variables que dinámicas, se pueden definir como la derivada de x y y respecto al tiempo)[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

Para trazar un diagrama de fase se comienza trazando una curva , obteniendo la gradiente de , tal que se definan los espacios en los cuales  (se traza una flecha hacia la derecha, tal que indica el crecimiento de la variable) y  (se traza una flecha hacia la izquierda, tal que indica el decrecimiento de la variable); para concluir con el trazado se identifica la curva , obteniendo la gradiente de  y se definen los mismos espacios, tal que  (se traza una flecha hacia arriba, indicando crecimiento) y  (se traza una flecha hacia abajo, indicando decrecimiento). El punto en el cual  es el equilibrio del sistema. [pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

Para Gasparri et al (2015, p.237), los diagramas de fase son útiles en los modelos económicos para analizar el comportamiento dinámico de un sistema, especialmente cuando solo se conoce el signo de las derivadas de las funciones involucradas, nótese que es posible determinar cuando la variable crece o decrece a través de la dirección de las flechas.

A continuación, se expone lo mencionado con un ejemplo:

Sea el sistema de ecuaciones diferenciales:

[pic 29]

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En primer lugar, se grafica  y , para hacerlo se calcula el gradiente de  y :[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

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Considerando los signos de las derivadas parciales, graficamos las flechas y obtenemos:

[pic 37][pic 38]

1. Exponga las principales ventajas y desventajas del Modelo de Ramsey

Ventajas.

El modelo de Ramsey permite maximizar intertemporalmente la utilidad y beneficio de las familias y firmas respectivamente, tal que se pueda estudiar el comportamiento a lo largo del tiempo de ambos actores económicos, y su importancia en el crecimiento óptimo de la economía. Por otro lado, se simplifican las variables que inciden en sus decisiones de consumo e inversión, limitándose a la tasa de interés.  

Finalmente, los supuestos del modelo permiten simplificar el estudio, evitando el análisis del gasto público y permite establecer equilibrios dinámicos que promueven un crecimiento óptimo a lo largo del tiempo..

Desventajas.

El modelo supone que la economía es cerrada, carece de sector público, el mercado laboral esta en pleno empleo, se produce/comercializa un solo bien y se cumple con la ley de Say esto limita la aplicación del modelo a la realidad, puesto que no existe ninguna economía que cumpla con las características antes mencionadas, por lo que los equilibrios propuestos no consideran el comercio exterior, el desempleo involuntario y los problemas de demanda efectiva.

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