Fourier aplicado a telecom

[pic 1]

Resultado de aprendizaje

Unidad 2

Matemáticas para TI

7-A

PRESENTA: 

Jorge Luis Piña Florencio

CD. REYNOSA, TAMAULIPAS                   Noviembre 2019

¿QUE ES SERIE/TRANSFORMADA DE FOUIER?

Las series de Fourier son series de términos coseno y seno y surgen en la tarea práctica de representar funciones periódicas generales. Como aplicación constituyen una herramienta muy importante en la solución de problemas en los que intervienen ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. La teoría de las series de Fourier es bastante complicada, pero la aplicación de estas series es simple.

Las series de Fourier son, en cierto sentido, más universales que las series de Taylor, ya que muchas funciones periódicas discontinuas pueden desarrollarse en serie de Fourier, pero, desde luego, no tienen representaciones en serie de Taylor. La introducción de las series de Fourier (y de las integrales de Fourier) fue uno de los mayores avances jamás realizados en la física matemática y en sus aplicaciones en la ingeniería, ya que las series de Fourier (y las integrales de Fourier) son probablemente la herramienta más importante en la solución de problemas con valores en la frontera.

Esto se explicará en el capítulo siguiente. La transformada de Laplace es con mucho la transformada integral más importante en ingeniería. Desde el punto de vista de las aplicaciones, las siguientes en importancia serían quizás la transformada de Fourier, aun cuando su manejo resulta un tanto más difícil que la transformada de Laplace

REGLAS PARA EL DESARROLLO DE UNA SERIE DE FOURIER

Sea [pic 2] una función de una variable real. Supongamos que dicha función es integrable en un determinado intervalo de longitud T. Se define la serie de Fourier de  [pic 3] como:

[pic 4]

donde:          [pic 5]  es la frecuencia fundamental.

Se llaman Coeficientes de Fourier a: [pic 6]. Hay que tener en cuenta que tanto [pic 7] como [pic 8] hacen referencia a infinitos términos ya que como se ve en la expresión de la Serie de Fourier el sumatorio va desde 1 hasta n.

Parece obvio que una vez conozcamos los coeficientes de Fourier ya estaremos en disposición de poder construir la serie de Fourier de la función [pic 9].

Puntos para tener en cuenta para la serie de Fourier

La Serie de Fourier de [pic 10]  converge a [pic 11] dentro del intervalo de longitud T. Fuera de este intervalo la Serie de Fourier no converge a [pic 12] y lo que nos queda son periodos de la Serie de Fourier de [pic 13] que existe dentro de dicho intervalo.

Si la función [pic 14] tiene un periodo T igual a la longitud del intervalo donde estamos expandiendo la Serie de Fourier obtendremos que la Serie de Fourier de [pic 15] converge a la función [pic 16] en todo su dominio y podemos decir, de forma precisa, que se trata de la Serie de Fourier de [pic 17] sin tener que especificar ningún intervalo.

Se definen la Sumas Parciales de la Serie de Fourier [pic 18] en el intervalo T o simplemente la Serie de Fourier de [pic 19], si la función tiene periodo T, como:

[pic 20]

Nótese que la diferencia con la expresión inicial es que el sumatorio sólo llega hasta k. Así nos quedará para el caso concreto de [pic 21]:

[pic 22]

A los dos sumandos [pic 23] se les suele denominador primer armónico. Análogamente a los dos sumandos de subíndice 2 se les llama segundo armónico y así sucesivamente con cada dos sumandos del mismo subíndice.

EJERCICIOS DE FOURIER CON APLICACIÓN EN TELECOMUNICACIONES

1. Se mide, con instrumentos adecuados, que el valor eficaz de una señal aleatoria, estacionaria y ergódica, es de 50 μV y su valor medio 0 V. Si se sabe que su función densidad de probabilidad es Gaussiana y se la observa durante un período de tiempo suficientemente largo, entre que límites (simétricos respecto a 0 V) de tensión estima Ud. que estará la señal durante el 99% del tiempo y (b) Idem que antes, pero durante 99,99% del tiempo.

[pic 24]

1. Representación en Matlab para dibujar “n” armónicos de una señal cuadrada de periodo 0.2 s y amplitud 1.        

[pic 25]

[pic 26]

Las señales es la aproximacion mediante series de fourier

1. Una señal periódica está formada por la repetición, cada 40 μseg, de un pulso armónico (seno o coseno) de 10 μseg de duración y cuya frecuencia es de 100MHz (la imagen de abajo es indicativo, no a escala).

[pic 27]

esquemáticamente, el módulo del espectro de frecuencia de la señal y determinar el ancho de banda ocupado. La señal representativa de un ciclo de la función periódica puede ser modelada como:

...