Combinaciones Con Repeticion

Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

Ejemplo

En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?

No entran todos los elementos. Sólo elije 4..

No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.

Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.

Combinaciones y permutaciones

¿Qué diferencia hay?

Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:

"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:

Si el orden no importa, es una combinación.

Si el orden sí importa es una permutación.

03. CONTEOS, METODOS COMBINATORIOS Y CONJUNTOS

ANALISIS COMBINATORIO

Combinaciones, Variaciones y Permutaciones. Para aplicar la Regla de Laplace, el cálculo de los sucesos favorables y de los sucesos posibles a veces no plantea ningún problema, ya que son un número reducido y se pueden calcular con facilidad:

a) Combinaciones, determina el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden formar con los n elementos de una nuestra. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen, sin que influya el orden. Para calcular el número de combinaciones se aplica

El termino n! se denomina factorial de n y es la multiplicación de todos los números que van desde n hasta 1. Ejemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24

La expresión Cm,n representa las combinaciones de m elementos, formando subgrupos de n elementos. Ejemplo, C10,4 son las combinaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4 elementos,

Es decir, podríamos formar 210 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10 elementos.

b) Variaciones, calcula el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden establecer con los n elementos de una muestra. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen o en el orden de dichos elementos (es lo que le diferencia de las combinaciones). Para calcular el número de variaciones se aplica,

La expresión Vm,n representa las variaciones de m elementos, formando subgrupos de n elementos. En este caso, como vimos en la anterior, un subgrupo se diferenciará del resto, bien por los elementos que lo forman, o bien por el orden de dichos elementos. Ejemplo V10,4 son las variaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4 elementos,

Es decir, podríamos formar 5.040 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10 elementos.

c) Permutaciones, calcula las posibles agrupaciones que se pueden establecer con todos los elementos de un grupo, por lo tanto, lo que diferencia a cada subgrupo del resto es el orden de los elementos. Para calcular el número de permutaciones se aplica,

La expresión Pm representa las permutaciones de m elementos, tomando todos los elementos. Los subgrupos se diferenciaran únicamente por el orden de los elementos. Ejemplo, P10 son las permutaciones de 10 elementos,

Es decir, tendríamos 3.628.800 formas diferentes de agrupar 10 elementos.

Vamos a analizar ahora que ocurriría con el cálculo de las combinaciones, de las variaciones o de las permutaciones en el supuesto de que al formar los subgrupos los elementos pudieran repetirse. Por ejemplo, tenemos bolas de 6 colores diferentes y queremos formar subgrupos en los que pudiera darse el caso de que 2, 3, 4 o todas las bolas del subgrupo tuvieran el mismo color. En este caso no podríamos utilizar las fórmulas que vimos en la anterior.

a) Combinaciones con repetición. Para calcular el número de combinaciones con repetición se aplica,

Ejemplo, C'10,4 son las combinaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos en subgrupos de 4, en los que 2, 3 o los 4 elementos podrían estar repetidos,

Es decir, podríamos formar 715 subgrupos diferentes de 4 elementos.

b) Variaciones con repetición. Para calcular el número de variaciones con repetición se aplica,

Ejemplo, V'10,4 son las variaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos en subgrupos de 4 elementos,

Es decir, podríamos formar 10.000 subgrupos diferentes de 4 elementos.

c) Permutaciones con repetición. Para calcular el número de permutaciones con repetición se aplica,

Son permutaciones de m elementos, en los que uno de ellos se repite x1 veces, otro x2 veces y así sucesivamente hasta uno que se repite xk veces. Ejemplo, Calcular las permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos se repite en 2 ocasiones y otro se repite en 3 ocasiones,

Es decir, tendríamos 302,400 formas diferentes de agrupar estos 10 elementos.

Resumen. En resumen y usando otra nomenclatura para que el lector se habitué a los demás libros que circulan en el medio.

Combinaciones, variaciones y permutaciones. Se llaman variaciones de n elementos tomados de m en m a los grupos de m elementos escogidos de los n elementos de un conjunto, teniendo en cuenta que dos grupos son distintos si difieren en algún elemento o en el orden de colocación de ellos.

Si los elementos se pueden repetir se llaman variaciones con repetición.

Si m = n se llaman permutaciones de n elementos.

Si el orden no importa se llaman combinaciones.

Variaciones: son los distintos grupos de m elementos distintos que se pueden formar con n elementos, teniendo en cuenta el orden. Variaciones con repetición:

son los distintos grupos de m elementos, repetidos o no, que se pueden formar con n elementos, teniendo en cuenta el orden.

Combinaciones: son los distintos subconjuntos de m elementos distintos que se pueden formar con n elementos. Combinaciones con repetición:

son los distintos subconjuntos de m elementos, repetidos o no, que se pueden formar con n elementos.

Permutaciones: son todas las distintas ordenaciones que se pueden formar con n elementos, todos distintos. Permutaciones con repetición:

son las distintas ordenaciones que se pueden formar con n elementos, teniendo en cuenta que un elemento se repite x1 veces, otro x2 veces, ...., etc., siendo x1+x2+......+xk=n.

TÉCNICAS DE CONTEO

Listas. Una lista es una sucesión ordenada de objetos, se escriben entre paréntesis y separando los elementos por comas. Por ejemplo la lista (1,2,3,Ζ) es una lista cuyo primer elemento es el 1, el segundo el 2, el tercer elemento es el 3 y el cuarto elemento es el conjunto de los números enteros. El orden en que aparecen los elementos en una lista es de suma importancia, así la lista (2,4,6) es diferente de la lista (6,4,2) y de la lista (4,2,6) sin importar que los elementos sean los mismos. Los elementos en una lista pueden repetirse como en (2,2,3). La longitud de una lista es la cantidad de elementos que tiene la lista, así en todos los ejemplos anteriores la longitud es de tres, mientras que la lista (2,4,6,8) tiene una longitud de cuatro. Una lista de longitud dos tiene el nombre especial de par ordenado.

Ejemplo. Se desea hacer una lista de dos elementos, en los lugares de la lista pueden estar cualquiera de los dígitos 2, 4, 6 o 8. ¿Cuántas listas con estas características son posibles?. La forma más directa de responder es escribiendo todas las posibilidades:

(2,2) (2,4) (2,6) (2,8)

(4,2) (4,4) (4,6) (4,8)

(6,2) (6,4) (6,6) (6,8)

(8,2) (8,4) (8,6) (8,8)

Hay 16 elementos posibles.

Supongamos que los elementos posibles en la primera posición de la lista son los enteros del 1 al n y los posibles para la segunda posición son los enteros del 1 al m. Como antes tenemos la siguiente tabla con las diferentes posibilidades:

(1,1) (1,2) (1,3) ... (1,m)

(2,1) (2,2) (2,3) ... (2,m)

(3,1) (3,2) (3,3) ... (3,m)

. . . .

: : : :

(n,1) (n,2) (n,3) ... (n,m)

Hay n filas o renglones (con el primer elemento igual en cada una de las listas), y cada fila contiene m listas. Por consiguiente la cantidad de listas posibles es:

m + m + m +...+ m = m * n

n veces

Principio de Multiplicación. Si una operación se puede realizar en n1 formas, y sí por cada una de estas formas una segunda operación se puede realizar de n2 formas, entonces, las dos operaciones se pueden realizar juntas de n1*n2 formas. Consideremos listas de dos elementos en las que hay n opciones

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