EL PAPEL DEL LENGUAJE EN L EDUCACIÓN MATEMÁTICA

EN EL PAPEL DE LENGUAJE EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Ladislav Kvasz

Resumen El lenguaje de las matemáticas atraído recientemente la atención de filósofos, historiadores de las matemáticas, y los investigadores en educación matemática (véase Dutilh Novaes en lenguajes formales de la lógica. Un análisis filosófico y cognitivo. Cambridge University, Cambridge, Reino Unido, 2012, Hoyrup en el desa- rrollo del simbolismo algebraico. College Publications, Londres,2010, Kvasz en Comunicación en el aula matemática. Wydawnictwo Uniwersitetu Rzeszowskiego, Rzeszów, pp. 207-228,2014, Lakoff y Núñez en donde Matemáticas- matemá- viene. Basic Books, Nueva York,2000, Macbeth en la realización de la razón. Un relato de la verdad y el conocimiento. Oxford University Press, Oxford,2014, Serfati en La Révolution Symbolique. La Constitución De L'écriture Symbolique Mathematique. Petra Ediciones, París,2005O Sfard en el pensamiento como la comunicación. El desarrollo humano, el crecimiento de los discursos, y matematización. Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido,2008). Existe un número considerable de enfoques, cada uno de los cuales estudia un aspecto particular de la lengua de matemá- ticas que es relevante en el contexto particular. Sin embargo, lo que falta es un marco teórico que haría posible la integración de estos diferentes enfoques para el estudio de la lengua de las matemáticas y utilizar su potencial para una base teórica más profunda de la educación matemática. El objetivo del presente trabajo es argumentar a favor de la necesidad y para delinear la posible estructura de un marco teórico integrador para el estudio del lenguaje de las matemáticas. El autor está convencido de que tal iniciativa integradora puede surgir de la filosofía de la matemática que se basa históricamente y educativamente motivado.

Palabras clave Teoría de cambio        Esquemático pensando        Reifi cación análisis epistemológico

L. Kvasz (Y)

Departamento de Matemáticas y Educación Matemática, Facultad de Pedagogía,

Universidad Charles, M. Retigove 4, 116 39 Praga, República Checa e-mail: ladislav.kvasz@pedI

Introducción-Lenguaje y Cambio

Una mirada superficial a los textos matemáticos del pasado indica que el lenguaje de las matemáticas ha experimentado cambios sustanciales. Muchos términos cambian sus significados-Euclides de líneas rectas se finita, nuestras líneas rectas tramo hasta el infinito; Euler considera una función continua si fue dada por una sola fórmula, de fi continuidad ne diferente. Nuevos términos surgen-Descartes introdujo el término “curva” (en su sentido moderno); Leibniz el término “función”; Galois el término “grupo”. Estos son algunos cambios notables ocurridos en la 'superficie' del lenguaje de las matemáticas. Si un maestro quiere que sus estudiantes a entender, ella debe conocer y tener en cuenta las diferencias entre su uso lingüístico y la de sus estudiantes. La evolución de las matemáticas implica, sin embargo, también varios cambios de la estructura profunda del lenguaje de las matemáticas. Nos centraremos en tres clases de ellos.

Durante su desarrollo del lenguaje de las matemáticas ha sido objeto de varias fi caciones rei de la totalidad de su capas (ver Sfard y Linchevski, 1994). Así, por ejemplo, en el álgebra durante el siglo 15 y 16 de la fi cación rei de operaciones algebraicas condujo a la creación de la primera capa de algebraica objetos potencias y raíces, al igual que la reificación de las transformaciones de ecuaciones dirigidos durante el siglo 17 para la introducción de una nueva capa de algebraicas objetos-polinomios (y más tarde otras formas bilineales o matrices); y la fi cación rei de las simetrías de ecuaciones bajo las transformaciones de sus raíces condujo durante el siglo 19 a la rei fi cación de una capa aún más abstracta de objetos-grupos algebraicos (y otras estructuras análogas como campos o anillos). Así, la mayoría de los objetos estudiados en álgebra apareció en el proceso de reificación de operaciones, transformaciones, o simetrías. Un desarrollo paralelo en la geometría llevó a la rei fi cación de espacio durante el Renaissance (que condujo a la comprensión de los objetos geométricos como situados en el espacio); luego a la rei fi cación de transformaciones (en la geometría proyectiva); y más tarde a la rei fi cación de la fi en puntos remotos cantidad infinita (en la forma de la absoluta). Así, el lenguaje hace posible la transformación de diferentes procedimientos y operaciones, en objetos in- dependientes. El pliego de rei (había muchos de ellos) son mucho más profundo y mucho más complejos cambios de lenguaje que la introducción o cambio de significado de las nociones individuales. Un análisis teórico del proceso de rei fi caciones en la geometría y en álgebra se pueden encontrar en (Kvasz, y más tarde a la rei fi cación de la fi en puntos remotos cantidad infinita (en la forma de la absoluta). Así, el lenguaje hace posible la transformación de diferentes procedimientos y operaciones, en objetos in- dependientes. El pliego de rei (había muchos de ellos) son mucho más profundo y mucho más complejos cambios de lenguaje que la introducción o cambio de significado de las nociones individuales. Un análisis teórico del proceso de rei fi caciones en la geometría y en álgebra se pueden encontrar en (Kvasz, y más tarde a la rei fi cación de la fi en puntos remotos cantidad infinita (en la forma de la absoluta). Así, el lenguaje hace posible la transformación de diferentes procedimientos y operaciones, en objetos in- dependientes. El pliego de rei (había muchos de ellos) son mucho más profundo y mucho más complejos cambios de lenguaje que la introducción o cambio de significado de las nociones individuales. Un análisis teórico del proceso de rei fi caciones en la geometría y en álgebra se pueden encontrar en (Kvasz,2008a, Pp. 107-200). Un maestro debe tener una buena comprensión de las diferentes capas de rei fi cación con el fin de ayudar a sus estudiantes al pasar de una capa a la siguiente si se producen algunos (epistemológicos) obstáculos.

Pero rei fi caciones no son la forma más radical de cambio lingüístico en mathe-

mática. Como muestra la geometría fractal, lenguaje de las matemáticas es capaz de crear todo un nuevo universo de formas y nos permitirá ver orden donde sin ella no se pudo ver ninguna regularidades (Peitgen, Jürgens, y Saupe,1992; Peitgen y Richter,1986). El descubrimiento de la geometría fractal es solo un ejemplo, sin embargo, muy importante, ya que permite el paso en los zapatos de los matemáticos, que fueron testigos de la creación de la geometría analítica en el siglo 17, o de

cálculo en el siglo 18. En el caso de la geometría analítica o el cálculo, al igual que en el caso de la geometría fractal, en los lugares donde los matemáticos eran previamente capaz de discernir sólo la mitad de una docena de curvas (como el cisoide de Diocles o la concoide de Nicomedes), o una pequeña número de funciones (como logaritmo o seno) enteramente un nuevo universo de curvas o funciones emergió. Así vemos que el lenguaje de las matemáticas es capaz no sólo a su vez determinados procedimientos en nuevos objetos y así complementar el universo existente por alguna nueva de objetos (como en el caso de rei cationes fi-), pero es capaz de crear universos formado en su totalidad nuevos tipos de objetos. La creación del universo de curvas por medio de la geometría analítica, o de funciones por medio de la en fi cálculo infinitesimal, son sólo dos ejemplos que ilustran el punto. La geometría fractal es importante porque surgido hace relativamente poco tiempo y por eso tenemos un sentimiento del carácter radical del cambio que ha introducido. En el caso de la geometría analítica o el cálculo se encuentra situado en el otro lado de la rotura (en el lado donde las curvas o funciones analíticas son una cuestión de curso) y lo que simplemente no podemos imaginar matemáticas, en las que no hay curvas analíticas o ninguna función. Sin embargo, la mayoría de nuestros alumnos y estudiantes viven en estos mundos y tenemos que revelar los nuevos universos de las curvas de la geometría analítica, de las funciones de cálculo o de formas de la geometría fractal para ellos. El caso de la geometría fractal nos permite entender cómo los cambios radicales cognitiva esto requiere.

Sin embargo, incluso este poder explosivo de lenguaje para crear totalmente nuevos universos no es el final de la historia. El lenguaje matemático es capaz de introducir la noción de prueba y por lo tanto para mediar en el contacto con la absoluta, la sensación de que podemos saber algo con certeza absoluta, la sensación de que, además de doxai existe la episteme. Uno de los grandes temas de la filosofía de las matemáticas durante los últimos cien años fue la crítica a la visión absolutista de las matemáticas que comienzan con CS Pierce (Dörfler,2005) A través de Ludwig Wittgenstein (Diamond,1975) Y Imre Lakatos (Lakatos, 1976) Al constructivismo social (véase Ernest 1998 para una discusión y referencias adicionales). Pero esas críticas no nos debe impedir reconocer, que la visión absolutista de las matemáticas es en cierto sentido un reflejo de la invención de la prueba, que fue un paso importante en la evolución cultural de la humanidad. Los detalles exactos de esta invención todavía se discuten, pero el papel central de las herramientas lingüísticas en esta invención es obvia (ver Netz,1999). La matemática es simplemente que parte del conocimiento humano, donde proving es la forma de establecer la validez objetiva de las proposiciones y donde la búsqueda de la seguridad es un componente importante de su práctica. En la enseñanza de matemáticas hay que transmitir una comprensión del significado y quizás también de la fascinación por la belleza intelectual de la prueba (Hanna, Jahnke, y Pulte,2010).

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