El curso de Matemáticas II
lfjdlsjfsdfApuntes7 de Septiembre de 2021
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ENMEM155 Métodos Matemáticos II
Semestre Primavera, 2021
Antecedentes generales
- Créditos del curso: 6
- Prerrequisitos: ENMEM155
- Ayudantía: viernes de 8 a 9:20 y sábado a las 11 a 12:20.
- Coordinador General de Matemáticas FEN: Jorge Rivera (jrivera@fen.uchile.cl)
- Coordinador del curso: Alfredo Parra (aparraro@fen.uchile.cl)
- Profesores del curso: Claudio Vargas (cvargas@fen.uchile.cl); Diego Romero (dromeroa@fen.uchile.cl); Mauricio Cáceres (mcaceref@fen.uchile.cl); Máximo Lira (mlira@fen.uchile.cl); Humberto Cipriano (hciprian@fen.uchile.cl); Juan Pablo Torres-Martínez (jutorres@fen.uchile.cl); Fabián Duarte (fabduarte@fen.uchile.cl); Axel Vásquez (avasquez@fen.uchile.cl), Jorge Rivera (jrivera@fen.uchile.cl), Alfredo Parra (aparraro@fen.uchile.cl).
- Ayudantes Jefe: María Jesús Negrete (mnegrete@fen.uchile.cl) y Camilo Jaramillo (cjaramillo@fen.uchile.cl).
Presentación general del curso y objetivos
El curso de Matemáticas II es el segundo de los cuatro cursos de matemáticas generales del plan común de formación de todas las carreras de la Facultad de Economía y Negocios de la Universidad de Chile. Su objetivo general es entregar formación básica en álgebra lineal y, de manera adicional, introducir aspectos generales de integración de funciones reales.
Metodología de las clases de cátedra
Las clases del curso son de carácter lectivo, y serán dictadas de manera virtual por cada profesor. Sin perjuicio de lo anterior, en la eventualidad de que la circunstancias lo permitan, a lo largo del semestre se tratará de que algunas actividades sean presenciales.
El curso está programado para 24 clases dictadas a lo largo del semestre, y en cada una de ellas el profesor presentará los contenidos de acuerdo con el programa del curso que se muestra más adelante. Cada clase será grabada, quedando a disposición de los estudiantes en la página web de la sección correspondiente.
El curso cuenta con un Apunte Oficial, que contiene todas las materias que serán tratadas. Además, quedarán a disposición las PPTs que se utilicen en cada clase.
En la eventualidad de que por feriados no se pueda dictar la clase lectiva, el profesor subirá una grabación y la PPT de la misma, dándose por pasada la materia correspondiente. Sin perjuicio de esto, cada alumno puede asistir libremente a las clases correspondientes de otras secciones del curso.
Sobre las evaluaciones
A lo largo del semestre, cada estudiante rendirá tres tipos de evaluaciones: (a) 7 tareas cortas, (b) tres solemnes y (c) un examen final. Cada una de ellas será evaluada en escala 1 a 7, con un decimal de aproximación. Cada evaluación que no se rinda tiene nota igual a 1.
En el caso de ser tomadas de manera presencial, se considerará como respuesta válida aquella cuya resolución es hecha con lápiz pasta. En el caso de que las pruebas sean online, se corregirá el desarrollo que fue subido a la plataforma Canvas de acuerdo con un protocolo que será informado de manera anticipada.
(a) Tareas cortas: cada cierta cantidad de clases que cierran determinado tema del curso, se entregará una tarea con ejercicios de la materia correspondiente. Esas tareas serán desarrolladas en grupos de a lo más tres personas. De los ejercicios propuestos en la tarea, cuya materia se indica más abajo cuando se presenta el programa del curso, se corregirán las respuestas de dos preguntas, elegidas de manera aleatoria. La nota de las tareas es el promedio de las notas de todas ellas, y pondera 10% en la Nota Final del curso. Una vez entregado el enunciado de la tarea, el plazo para responder es de una semana. El protocolo y formato de entrega será informado oportunamente.
(b) Pruebas Solemne: a lo largo del semestre se tomarán 3 pruebas Solemne. Cada una seguirá un protocolo de respuesta y de entrega de resultados que será informado oportunamente. Las fechas de las pruebas Solemne son:
Solemne | Fecha |
1 | Viernes 20 de agosto, 08.00 |
2 | Fecha Fijada por Secretaría de Estudios |
3 | Viernes 22 de octubre, 08.00 |
Las materias que se consideran en cada una de esas pruebas es la acumulada hasta la clase última de la semana anterior, según el programa del curso.
La nota de cada prueba Solemne tendrá una ponderación de 20% en la Nota Final del curso, es decir, las tres solemnes suman el 60% de la Nota Final del curso.
(c) Examen: al final del semestre, en fecha definida por la Facultad, se tomará un Examen, el cual evaluará todas las materias vistas, con énfasis en los contenidos no evaluados en la tercera prueba Solemne.
El curso no considera la posibilidad de eximir esta prueba. Además, la aprobación tiene requisito que 3,00 es la nota mínima de Examen. La nota obtenida en el Examen pondera el 30 % de la Nota Final del curso.
En complemento a lo anterior, en una fecha posterior al Examen Final habrá una Prueba Sustitutiva, la que podrá ser rendida por cualquier estudiante sin necesidad de justificación. En la medida que favorezca a su Nota Final, la nota en la Prueba Sustitutiva podrá reemplazar la nota de cualquiera de las 3 Solemnes, o bien la nota del Examen. Para esa última, la prueba sustitutiva puede reemplazar la nota del Examen siempre y cuando su nota sea mayor o igual a 3,00.
Sobre plagio
El alumno/a que sea sorprendido en un plagio (copia) será reprobado con nota final 1,0. Además, el caso será notificado a la Facultad para que se incluya en su expediente de alumno y para que, eventualmente, se inicie un sumario.
Sistema de reclamo de notas
Si un alumno/a considera que la calificación que obtuvo en alguna prueba Solemne o en el Examen fue injusta, tiene derecho a reclamar la nota. Para esto, habrá dos instancias. La primera es reclamar directamente al Ayudante Jefe/a encargado de esa prueba, donde informa cada pregunta con que está disconforme. Este reclamo se presentará en forma escrita, según un protocolo que se publicará para el efecto. Una vez hecha la revisión (que puede subir, mantener o incluso bajar el resultado de nota la pregunta reclamada), la nota que obtiene es informada al alumno\a.
Si el/la estudiante no queda está conforme con la primera recorrección, tiene una segunda instancia de reclamo, la que se hace al profesor coordinador del curso. En caso de reclamar la nota con el profesor coordinador, este revisará la prueba completa, pudiendo subir, bajar o mantener la nota de esa prueba.
Evaluación final del curso
La Nota Final del curso es el promedio ponderado de las notas las tareas, que pesa 10% en la nota final, de las solemnes, cada una pesando 20%, y del Examen, que pesa 30%.
Además de tener Nota Final mayor o igual a 3,95, y de que la nota del Examen sea mayor o igual a 3,00 la aprobación del curso estará́ sujeta a no haber incurrido en alguna de las faltas señaladas en el Reglamento de Plagio de la Facultad, norma vigente desde el 2006. A este respecto, revisar la página web:
http://secretariaestudios.fen.uchile.cl/informacion-relevante/reglamento-de-plagios
Programa del curso
El curso se dictará en 24 sesiones que se desarrollan a lo largo del semestre. Los temas, contenidos y objetivos de cada clase se muestran en el cuadro a continuación. En él se informa el número de la clase (CL), el tema que se tratará (Tema), el capítulo correspondiente en el Apunte del Curso (Cap.), el objetivo de la clase (Objetivos) y la tarea asociada a la materia que se discute (Tarea).
Programa del curso
CL | Tema | Cap. | Objetivos | Tarea |
1 | Sumatorias | 1 | Conocer aspectos generales de sumatorias | 1 |
Conocer sumatorias importantes (lineal, geométrica), suma telescópica. Conocer propiedades elementales de sumatorias | ||||
Explicar qué son sumatorias con más de un índice | ||||
2 | Primitiva de una función (1) | 2 | Conocer el concepto de primitiva de una función | |
Primitivas directas | ||||
Primitivas usando regla "derivada dividido por función" | ||||
3 | Primitiva de una función (2) | 2 | Primitivas usando cambio de variables | |
Primitivas usando regla de integración por partes | ||||
4 | Integral definida | 3 | Conocer la integral definida. Área bajo la curva aproximada por suma de Riemann | |
Teorema fundamental del cálculo | ||||
Cálculo de integrales definidas | ||||
5 | Integrales impropias | 3 | Conocer las integrales impropias | |
Cálculo de integrales impropias | ||||
Síntesis de resultados y ejemplos | ||||
6 | Producto cartesiano | 4 | Conocer producto cartesiano de conjuntos y la representación gráfica correspondiente. | 2 |
Vectores y flechas | 5 | Conocer elementos de geometría de vectores en el “plano” y en el “espacio”. Conocer la geometría asociada a la suma y ponderación de flechas. | ||
7 | como espacio vectorial[pic 2] | 6 | Entender qué es y la noción de espacio vectorial. [pic 3] | |
Entender qué es un subespacio vectorial de y su caracterización.[pic 4] | ||||
8
| Combinaciones lineales, dependencia lineal | 7 | Conocer el concepto de combinaciones lineales de elementos de . Propiedades básicas[pic 5] | |
Conocer el concepto de independencia lineal y de dependencia lineal de vectores de [pic 6] | ||||
9
| Bases y dimensión
| 8 | Conocer el concepto de base de un espacio vectorial | |
Conocer el concepto de dimensión de un espacio vectorial | ||||
10
| Producto interno y norma
| 9 | Conocer el concepto de producto interno de vectores | |
Conocer el concepto de norma de un vector y de distancia entre vectores. | ||||
Desigualdad de Cauchy-Schwarz y ortogonalidad de vectores | ||||
11 | Aspectos generales de matrices | 10 | Conocer el concepto de matriz de números reales | 3 |
Elemento genérico de una matriz | ||||
Matrices y vectores | ||||
Matriz identidad, nula, triangular, diagonal | ||||
Traspuesta de una matriz | ||||
Propiedades de la trasposición de matrices | ||||
12 | Suma y ponderación de matrices | 11 | Conocer la suma de matrices | |
Conocer la ponderación por escalar de una matriz | ||||
Propiedades de la suma, ponderación y relación con traspuesta. | ||||
13 | Multiplicación de matrices | 12 | Conocer el concepto de producto de matrices | |
Producto de matrices a través de combinaciones lineales de columnas | ||||
Producto de matrices a través de producto interno | ||||
Conocer propiedades elementales del producto matricial | ||||
14 | Matriz invertible | 13 | Conocer el concepto de matriz invertible | 4 |
Caracterización de invertibilidad de una matriz según lineal independencia de las columnas | ||||
Propiedades generales de matrices invertibles | ||||
15
| Cuestiones generales sobre núcleo e imagen de una matriz
| 14 | Conocer el núcleo de una matriz y sus propiedades relevantes | |
Conocer la imagen de una matriz y sus propiedades relevantes | ||||
16
| Sistemas de ecuaciones lineales (SEL) | 15 | Sistemas de ecuaciones lineales y forma matricial | 5 |
Solución particular, solución de la homogénea, solución general | ||||
Condiciones para que un SEL tenga solución única, infinitas soluciones o no tenga solución | ||||
17 | Solución de sistemas de ecuaciones lineales | 16 | Triangularización de matrices | |
Matriz ampliada y algoritmo de solución de sistemas de ecuaciones lineales | ||||
Identificar los casos cuando un SEL no tiene solución, cuando tiene infinitas o cuando la solución es única | ||||
18 | Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales | 17 | Resolver completamente un sistema de ecuaciones | |
Encontrar el rango de una matriz | ||||
Invertir una matriz | ||||
Encontrar el núcleo de una matriz | ||||
19
| Formas cuadráticas y signo de una matriz
| 18, 19 | Conocer qué es una forma cuadrática | 6 |
Formas cuadráticas y matrices simétricas | ||||
Conocer qué es el signo de una matriz | ||||
20 | Valores propios y determinantes (1) | 20 | Conocer el concepto de valor y vector propio de una matriz | |
Propiedades elementales de valor y vector propio | ||||
Conocer el determinante de una matriz | ||||
21
| Valores propios y determinantes (2) | 20 | Cálculo de determinantes (regla de menores y cofactores) | |
Determinantes e invertibilidad de una matriz | ||||
Solución de SEL con determinantes | ||||
Determinantes y valores propios: polinomio característico | ||||
22 | Diagonalización de matrices simétricas | 21 | Conocer qué es una matriz ortogonal | 7 |
Conocer el resultado de la diagonalización de matrices simétricas: donde [pic 7][pic 8] | ||||
23 | Aplicaciones de la diagonalización de matrices simétricas | 21 | Conocer el signo de una matriz | |
Potencias de una matriz | ||||
24 | Síntesis de resultados – puesta al día | Esta clase es de recapitulación de resultados y-o puesta al día con las materias |
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