TRABAJO COLABORATIVO - PROBABILIDAD

TRABAJO COLABORATIVO # 2

PROBABILIDAD

GRUPO: 100402_80

ESTUDIANTES

ROSAURA CALDERÓN VILLOTA

CC: 36950059

DIANA ELIZABETH ORTEGA MESIAS

CC: 36.754.806

SHIRLEY PAMELA AVENDAÑO BOTTO

CC: 36693590

LUISA ANDRA PONCE ACHICANOY

36759820

TUTORA: ADRIANA ROBAYO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)

CEAD PASTO

ECACEN

MAYO 2014

INTRODUCCIÓN

En la unidad dos se realizaran un resumen acerca de la unidad dos donde se hablara de las variables aleatorias y distribuciones de probabilidad, en el cual está el capitulo 4 que habla de las variables aleatorias, en donde se hará un resumen y se tendrá en caro los conceptos de la lección 16 variable aleatoria, lección 17 variable aleatoria discreta, la lección 18 variable aleatoria continua.

A partir de trabajar activamente desarrollando los ejercicios propuestos para lacomprensión de esta unidad 2 del módulo de probabilidad, nosotros los estudiantes, adquirimos destrezas en el desarrollo adecuado de problemas que se nos pueden presentar a lo largo de nuestra vida así como en las carreras profesionales que nos ofrece la UNAD. En forma muy general este documento nos presenta el desarrollo de ejercicios propuestos sobre variables aleatorias y distribuciones de probabilidad utilizando las formulas correspondientes para solucionar cada uno de ellos.

RESUMEN UNIDAD DOS.

Capitulo cuatro: variables aleatorias y distribuciones de probabilidad.

Lección 16: concepto de variable aleatoria:

Es una función que asigna un numero real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. Ellas se denotan con una letra mayúscula, tal como X. Se dice que X es aleatoria porque involucra la probabilidad de los resultados del espacio muestral, y se define X como una función porque transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas reales.

Ejemplo 1.

Considere el lanzamiento de una moneda. El espacio muestral de este experimento aleatorio está constituido por dos resultados: cara y sello. Si se define X (cara)=0 y X (sello)=1, se transforman los dos posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas reales. De esta manera P(X=0) representa la probabilidad de que el resultado al lanzar la moneda es cara.

LECCIÓN 17: VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Es una descripción del conjunto de posibles valores de X, junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores. Esta distribución bien puede ser una gráfica, una tabla o una ecuación que da la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria y se considera como el resumen más útil de un experimento aleatorio.

Toda distribución de probabilidad debe satisfacer cada uno de los dos requisitos siguientes:

• ∑▒ P(X = x) = 1

• 0 £ P(X = x) £ 1

EJEMPLO: Determine si la siguiente tabla describe una distribución de

Probabilidad

X 0 1 2

P(X=x) 0,04 0,32 0,64

Para ser una distribución de probabilidad, P(X=x) debe satisfacer los dos requisitos.

∑▒〖P(X=x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)〗

∑▒〖P(X=x)=0.04+0.32+0.64〗

∑▒〖P(X=x)=1〗

De manera que la tabla de probabilidades de la variable aleatoria X satisface el primer requisito. Observe, además, que cada uno de los valores de P(X=x) se encuentran entre 0 y 1. Como ambos requisitos se satisfacen, la tabla de probabilidades de la variable aleatoria X es una distribución de probabilidad de X.

Cuando la distribución de probabilidad se describe a partir de una ecuación, se le denomina función de probabilidad. Esta función f (x) = P(X = x) va del conjunto de los valores posibles de la variable aleatoria discreta X (denominado rango de X) al intervalo [0,1] y satisface las siguientes propiedades:

f (x) ³ 0 "x ∑▒〖f(x)=1〗

LECCIÓN 18: VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Una variable aleatoria X es continua si el número de valores que puede tomar están contenidos en un intervalo (finito o infinito) de números reales. Dichos valores pueden asociarse a mediciones en una escala continua, de manera que no haya huecos o interrupciones. En algunos casos, la variable aleatoria considerada continua en realidad es discreta, pero como el rango de todos los valores posibles es muy grande, resulta más conveniente utilizar un modelo basado en una variable aleatoria continua. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X está caracterizada por una función f(x) que recibe el nombre de función de densidad de probabilidad. Esta función f(x) no es la misma función de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

EJEMPLO 1.9

Suponga que x f x e−( ) para x>0. Calcule las siguientes probabilidades:

Al igual que en el caso de una variable aleatoria discreta, la función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua X es la probabilidad de que X tome un valor menor o igual a algún x específico. Esto es:

Por lo tanto, la función de distribución acumulada F(x) es el área acotada por la función de densidad.

La función de distribución acumulada F(x) cumple las siguientes propiedades:

Lección 19: valor esperado y varianza de una variable aleatoria: el valor también llamado media o esperanza matemática de una variable aleatoria discreta X es una medida de posición para distribución de X. se simboliza μ y se calcula al sumar el producto de cada valor de X con su probabilidad correspondiente, se simboliza:

La varianza de una variable aleatoria discreta X con media μx y función de probabilidad f(x), es:

La media y la varianza de una variable aleatoria continua se definen de manera similar al caso de la variable aleatoria disc reta. La integración sustituye a la sumatoria.

Así mismo, la desviación estándar de X es

Lección 20: teorema de chebyshev. Para demostrar cómo la desviación estándar es indicadora de la dispersión de la distribución de una variable aleatoria, el matemático ruso Pafnuty Lvovich Chébyshev desarrolló un teorema en el que ofrece una garantía mínima acerca de la probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor dentro de k desviaciones estándar alrededor de la media.

Para cualquier variable aleatoria X con media μ y desviación estándar σ, la probabilidad de que X tome un valor contenido en k desviaciones estándar de la media, siendo k una constante positiva cualquiera, es cuando menos 1-1/k2.

Simbólicamente, el teorema se expresa de cualquiera de las siguientes maneras:

Este teorema asegura que la probabilidad de que una variable aleatoria se aleje de la media no más de k desviaciones estándar, es menor o igual a 1/k2 para algún valor de k >1. Es aplicable a cualquier variable aleatoria con cualquier distribución de probabilidad, ya sea discreta o continua.

CAPITULO 5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA

Existen seis familias de distribuciones de probabilidad discreta y se hacen comentarios sobre su aplicación. Como son: las distribuciones uniforme discreta, binomial, geométrica, binomial negativa, hipergeométrica y Poisson.

DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA

La variable aleatoria discreta más sencilla es aquella que toma sólo un número finito de valores posibles n, cada uno con la misma probabilidad. Ha esta se la conoce como variable aleatoria discreta uniforme y su distribución uniforme discreta está dada por:

En una variable aleatoria discreta uniforme X, se pueden tomar los valores 1, 2,…, n, la media es:

Donde su desviación estándar es

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

EXPERIMENTO BINOMIAL

Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto).

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