ALGEBRA DE MATRICES Y DETERMINANTES
tabique13Apuntes14 de Enero de 2016
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Tema 3 -ALGEBRA DE MATRICES Y DETERMINANTES
3.1. Operaciones con Matrices
⎤
⎡
A =
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
a11 | a12 | . . . | a1j | . . . | a1n |
a21 ... | a22 ... | . . . | a2j | . . . | a2n ... |
ai1 ... | ai2 ... | . . . | aij | . . . | ain ... |
am1 | am2 | . . . | amj | . . . | amn |
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
• El elemento de una matiz A situado en la fila i-«esima y en la columna j-«esima se denota (A)ij.
Ejemplo: En la matriz anterior, (A)ij = aij.
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Algebra Lineal 2014/2015
• Llamamos matriz nula o matriz cero a una matriz, denotada 0, cuyos elementos son todos cero.
(aij =0 ∀ i, j )
• Decimos que una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo n«umero de filas que de columnas.
(m = n)
• En caso contrario (m = n), la matriz es rectangular.
• La diagonal de una matriz, o sus elementos diagonales, son los elementos
aii ( ∀ i =1, ..., m«ın(m, n) ).
• Una matriz se denomina diagonal si los elementos no diagonales son nulos.
(aij =0 ∀ i= j )
⎤
⎡
⎤⎡⎤
⎡
1 | 0 | 0 | 0 |
0 −1 | 0 | 0 | |
0 | 0 | 0 | 0 |
100 00
;
⎢⎢⎢⎣
⎥⎥⎥⎦
.
⎢⎣
02 0
⎥⎦
;
⎢⎣
00
⎥⎦
00 −1 00
0 001
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Algebra Lineal 2014/2015
• Una matriz es triangular superior si los elementos por debajo de la diagonal son nulos
(aij =0 ∀ i>j ).
• Una matriz es triangular inferior si los elementos por encima de la diagonal son nulos
(aij =0 ∀ i
• El conjunto de todas las posibles matrices de dimensiones (m × n) cuyos elementos son reales se representa por Rm×n .
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤⎡
2 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 −1 | 0 |
01 1
22
∈ R3×3
;
⎢⎢⎢⎣
⎥⎥⎥⎦
∈ R4×4
;
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
∈ R3×2
01 −1
71
00 −13 −3
40 04
.
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Algebra Lineal 2014/2015
• OPERACIONES:
S«olo se aplican a matrices con las dimensiones apropiadas:
- Comparaci«on. Dos matrices son iguales cuando sus entradas son iguales dos a dos.
- Suma. Corresponde a otra matriz cuyas entradas son la suma de las entradas de las matrices.
3 −1 | 3 | 1 | −1 | 0 | |||
= | = | ||||||
1 | 0 | −1 | 0 | 3 | 1 |
⎤
⎡⎤
⎡⎤
⎡
0 −11 −11 −2
⎢⎣
10
⎥⎦
+
⎢⎣
−1
0
⎥⎦
=
⎢⎣
00
⎥⎦
20 −12 12
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Algebra Lineal 2014/2015
◦ Producto por un escalar. Es otra matriz cuyas componentes son el producto del escalar por las componentes de la matriz.
⎤
⎡⎤
⎡
0 −10 −2
2
⎢⎣
10
⎥⎦
=
⎢⎣
20
⎥⎦
20 40
• PROPIEDADES:
Sean A, B y C matrices del mismo tama˜no y λ y µ escalares:
- Conmutativa A + B = B + A
- Distributiva λ (A+B)= λA+λB
- Asociativa (suma) A+(B+C)=(A+B)+C
- Distributiva (λ+µ) A = λA+µA
- Elemento neutro A +0= A
- Asociativa (producto) λ (µA)=(λµ) A
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Algebra Lineal 2014/2015
Multiplicaci«on de Matrices
• Producto de matrices:
Sean A una matriz (m × n) y B una matriz (n × p) con columnas b1, b2, ..., bp. Definimos el producto matricial de A por B como la matriz (m×p), denotada AB, cuyas columnas son Ab1,Ab2, ..., Abp.
Es decir,
AB = A [ b1 b2 ... bp ]=[ Ab1 Ab2 ... Abp ]
Atenci«on: Las dimensiones de un producto de matrices deben verificar
AB = C (m × n)(n × p)(m × p)
• Nota: El producto de dos matrices | se | define de tal | manera | que | se |
corresponde a dos transformaciones lineales combinadas | |||||
« Algebra Lineal 2014/2015 | 3-6 |
Ejemplo: | ||||||||||
2 | 3 | 4 | 3 | 6 | ||||||
AB | = | = | ||||||||
1 −5 | 1 −2 | 3 | ||||||||
(2 × 2) | (2 × 3) | ⇒ | (2 × 3) | |||||||
2 | 3 | 4 | 2 | 3 | 3 | 2 | 3 | 6 | ||
= | = | |||||||||
1 −5 | 1 | 1 −5 | −2 | 1 −5 | 3 | |||||
11 | 0 | 21 | 11 | 0 | 21 | |||||
= | = | |||||||||
−1 | 13 | −9 | −1 | 13 | −9 |
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Algebra Lineal 2014/2015
Regla de la fila-columna para multiplicar AB Sean A=[ a1 ... an ] ∈ Rm×n , B =[ b1 ... bp ] ∈ Rn×p
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