ALGEBRA LINEAL- DETERMINANTES

UNIDAD 3. DETERMINANTES

DEFINCIÓN: Amxm=  {aij}mxm

Denotado por: [pic 1]

Se define como el número que se obtiene del siguiente modo:

1. Es la suma de todos los productos posibles de n entradas de la matriz.
2. Cada producto contiene una entrada de cada columna y cada renglón. Así, por ejemplo, si un producto es a1j1, a2j2,…,anjn  entonces no existen índices “j” iguales.
3. El signo de cada término es (-1)P donde  y ni es el número de “j” menores de “ji” que le proceden. [pic 2]

Ejemplo: Determine  [pic 3]

Donde [pic 4][pic 5]

+a11 a22: n1= 0 n2= 0; [pic 6]

-a12 a21: n1= 1 n2= 0; [pic 7]

Por lo tanto  [pic 8]

= a11 a22 - a12 a21

1.  [pic 9]
2. [pic 10]

Determinante de [pic 11]

  [pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

 [pic 16][pic 17][pic 18]

n1 n2  n3     (-1) signo[pic 19]

[pic 20]

Por lo tanto

 =[pic 21]

a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a11a23 a32 – a12 a21 a33 – a13 a22 a31

Matriz singular. Se dice que Amxm es una matriz singular si [pic 22]

Matriz no singular. Se dice que Amxm es una matriz singular si [pic 23]

Determine lo siguiente:

1.  = [pic 24][pic 25]
2.  = [pic 26][pic 27]
3. = [pic 28][pic 29]
4. ; donde D= AC[pic 30]

AC= [pic 31][pic 32]

[pic 33]

DESARROLLO DE DETERMINANTES POR MENORES

DEFINICIÓN. Menor de una Matriz.

El mejor (ij) de una matriz, denotado por Mij. Es la matriz resultado de eliminar el renglón “i “y la columna “j” de la matriz dada.

Ejemplo:

Calcular el determinante de la siguiente Matriz “E” por el método de Desarrollo de determinantes por menores.

E=  [pic 34]

Se obtienen los menores de la primera columna, una vez tenidos los menores se prosigue a calcular su determinante que será multiplicado por las entradas de la primera columna para después ser sumados.

M11=   = [pic 35][pic 36]

M21=  [pic 37][pic 38]

M31=  [pic 39][pic 40]

|E| = -1 (-1) -4 (-32) -5 (-12) = -67

Ejemplo 2:

 Calcular el determinante de una matriz de orden 4x4 utilizando el método de por menores.

Para este caso se prosigue de igual manera a obtener los menores de las entradas que sean diferentes de cero para después calcular su determinante por el método de diagonales.

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