ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
alanmotaDocumentos de Investigación2 de Abril de 2018
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ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
1.- Distribución Uniforme Discreta.
2.- La Familia de Distribuciones de Bernoulli (Bernoulli, Binomial, Hipergeométrica, Geométrica, Binomial Negativa).
3.- Distribución de Poisson.
DESARROLLO
1.- Distribución Uniforme Discreta.
[pic 1]
La tabla de distribución de probabilidad sería
x | 1 | 2 | 3 | … | n | Suma |
f(x) | 1/n | 1/n | 1/n | … | 1/n | 1 |
La Esperanza matemática sería
[pic 2]
La Esperanza matemática Cuadrática sería
[pic 3]
La varianza sería
[pic 4]
Ejemplo 1: Lanzamiento de un dado es una distribución uniforma discreta, ya que:
[pic 5]
Hallemos la [pic 6]. Para esto usaré Excel.
[pic 7]
2.- La Familia de Distribuciones de Bernoulli (Bernoulli, Binomial, Hipergeométrica, Geométrica, Binomial Negativa).
Distribución | Aspectos | Explicación | Distribución |
I.- Bernoulli | 1.- El experimento consiste en: | 1 ensayo | [pic 8] |
2.- Cada ensayo da como resultado un existo E y un fracaso F | [pic 9] | ||
3.- Los ensayos que se repiten son: | Independientes | ||
4.- Estadísticos | [pic 10] | ||
II.- Binomial | 1.- El experimento consiste en: | [pic 11] ensayos | [pic 12] |
2.- Cada ensayo da como resultado un existo E y un fracaso F | [pic 13] | ||
3.- Los ensayos que se repiten son: | Independientes | ||
4.- Estadísticos | [pic 14] | ||
III.- Hipergeométrica | 1.- El experimento consiste en: | [pic 15] ensayos sin reemplazos | [pic 16] |
2.- Cada ensayo da como resultado un existo E y un fracaso F | Si [pic 17] son los elemento que tienen la característica de interés, entonces [pic 18] [pic 19] | N.- Total; n.- tamaño de la muestra; k.- artículos considerados como “éxitos”; N-k.- artículos considerados como fracasos; x.- éxitos seleccionados; n-x.- fracasos de los N-k artículos considerados fracasos [pic 20] | |
3.- Los ensayos que se repiten son: | Dependientes | ||
4.- Estadísticos | [pic 21] | ||
IV.- Geométrica | 1.- El experimento consiste en: | [pic 22] ensayos sin reemplazos | [pic 23] |
2.- Cada ensayo da como resultado un existo E y un fracaso F | [pic 24] | Es un Proceso de Bernoulli donde n no es constante y X es la va el n° del ensayo en donde ocurre el primer éxito. [pic 25] | |
3.- Los ensayos que se repiten son: | Independientes | ||
4.- Estadísticos | [pic 26] | ||
V.- Binomial Negativa o Pascal | 1.- El experimento consiste en: | [pic 27] ensayos | [pic 28] |
2.- Cada ensayo da como resultado un existo E y un fracaso F | [pic 29] | Respecto a la Geométrica (donde ocurre el 1er éxito), puede haber anteriormente (k-1) éxitos y nos interesa el k-ésimo éxito. [pic 30] | |
3.- Los ensayos que se repiten son: | Independientes | ||
4.- Estadísticos | [pic 31] |
Ejemplo 2: Se sabe que una máquina produce un 3% de piezas defectuosas. Elegimos una pieza al azar para comprobar si no presenta defectos. Hallar
a.- La Tabla de distribución de probabilidades, si 1 corresponde a la pieza sin defecto y 0 con defectos.
b.- A la larga cuantas piezas se espera que la máquina produzca sin defectos, de un total de 276 piezas hechas.
Solución:
a.-- Es la distribución de Bernoulli, cuya tabla de probabilidades es:
[pic 32]
b.- Si usamos la tabla tendríamos
[pic 33]
Se esperaría que aproximadamente 260 piezas
Ejemplo 3: La probabilidad de que cierta clase de componentes sobreviva a una prueba de choque es [pic 34] . Si se tienen 7 componentes, encuentre la probabilidad de que sobrevivan:
a.- Exactamente 2
b.- A lo sumo 5
c.- Al menos 3
d.- entre 1 y 5 componentes inclusive
e.- ¿Cuántos componentes sobreviran en promedio?
Solución:
Es una distribución Binomial, y si la hacemos usando la tabla tenemos:
[pic 35]
a.- Sea la vad X: N° de componentes que sobreviven al choque, luego la probabilidad que exactamente 2 sobrevivan se calcula, usando la tabla como
[pic 36]
b.- la probabilidad de que a lo sumo 5 sobrevivan será
[pic 37]
c.- la probabilidad de que al menos 3 sobrevivan será
[pic 38]
d.- la probabilidad de que entre 1 y 5 componentes inclusive sobrevivan será
[pic 39]
e.- Están preguntando la esperanza matemática, es decir
[pic 40]
Ejemplo 4: Encontrar la probabilidad de observar 3 cartas Rojas en 5 extracciones de una baraja ordinaria de 52 cartas.
Solución:
Debe percatarse que es una distribución Hipergeométrica, la cual se puede ilustrar como
[pic 41]
Incluso podemos hacer la Tablas de la distribución de probabilidades, en efecto
[pic 42]
Si hacemos la vad X N° de cartas rojas que se extraen, tenemos, que la probabilidad que nos preguntan es:
[pic 43]
Que si se observa la tabla corresponde a [pic 44], es decir,
[pic 45]
Ejemplo 4: (Muestreo de aceptación) Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos etapas. Se preparan cajas de 35 para embarque y se selecciona una muestra de 7 para verificar si tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra a lo sumo 2 artículos defectuosos, la caja entera se regresa para verificarla al 100%, en caso contrario, la caja se embarca.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artículos defectuosos?,
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene 4 artículos defectuoso se regresa para verificación?
c) Comente, ¿qué usted piensa sobre la utilidad de este plan de aceptación de la muestra?
Solución
Debe percatarse que es una distribución Hipergeométrica, la cual se puede ilustrar como
[pic 46]
Observe que antes del inciso a) no sabemos que es [pic 47]. Lo que sí sabemos es la condición de aceptación, es decir, si hacemos la vad X número que artículos defectuosos, tenemos que si [pic 48], entonces la caja se revisa 100%. Vamos a resolver el inciso
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