El Aprendizaje De Las Matematcas

EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS ESTADO ACTUAL DE LAS INVESTIGACIONES

Copyright 1987 © Papeles del Psicólogo

ISSN 0214 – 7823 Diciembre , nº 32 , 1987

VICENTE BERMEJO y M. OLIVA LAGO

Departamento de Psicología Evolutiva y de la Educación de la Facultad de Psicología de la Universidad Complutense de Madrid.

El estudio Psicológico de las operaciones aritméticas elementales se inicia desde principios de siglo (Arnett, 1905; Browne, 1906; Browneli, 1928; Bushwell y Judd, 1925); no obstante, sólo en fechas recientes se aprecia el surgimiento de un paradigma general, que aúna diferentes modelos sobre los procesos cognitivos utilizados por los niños durante la realización de tareas aritméticas concretas, y el modo en que cambian dichos procesos con el transcurso del tiempo. Según Brown (1970), los orígenes de este paradigma arrancarían de dos fuentes: de la simulación de los procesos cognitivos y de la obra de Piaget. Y desde ambas orientaciones se afirma que los procesos cognitivos no pueden observarse directamente, por lo que el investigador se ve obligado a inferir tales procesos, utilizando: a) modelos de simulación (De Corte y Verschaffel, 1985; Greeno, Riley y Gelman, 1984; Riley, Greeno y Heller, 1983; Siegler y Robinson, 1982); b) aportaciones acerca de los estadios evolutivos (Carpenter y Moser, 1982, 1983; Starkey y Gelman, 1982; Steffe, von Glasersfeld, Richards y Cobb, 1983); e) análisis de la influencia del marco cultural (Saxe, 1982; Hatano, 1982); d) análisis de los procesos de instrucción (Nesher, 1982); e) modelos de procesamiento cognitivo (Case, 1978, 1982; Collis, 1982). Una de las manifestaciones del consenso que comienza a surgir en torno a este paradigma, se refiere a los métodos utilizados para investigar los aspectos fundamentales de las operaciones aritméticas elementales, limitándose predominantemente al uso de la entrevista clínica(Ginsburg, Kossan, Schwartz y Swanson, 1983). Aunque Cobb y Steffe (1983), Davydov y Andronov (1980) y Resnick (1981) utilizan el "experimento de enseñanza", no obstante éste consiste esencialmente en una ampliación de la entrevista clínica. Otra manifestación de dicho consenso radica en el reconocimiento de la importancia de las habilidades numéricas básicas, tales como el conteo, la estimación y la percepción de la cantidad numérica para especificar los procesos cognitivos responsables del aprendizaje de las operaciones aritméticas elementales. La revalorización del conteo, por ejemplo como un elemento relevante en el estudio de los procedimientos utilizados por los niños en la resolución de problemas aditivos, es el fruto de numerosas investigaciones (Gelman y Gallistel, 1978; Fuson, y Richards, 1979; Steffe. Thompson y Richards, 1982; Steffe y col., 1983). En ellas se pone en entredicho la postergación que ha sufrido dicha habilidad, situándola en un primer plano. En las páginas que siguen trataremos de compendiar las aportaciones más significativas que se han hecho en torno a la adquisición y aprendizaje de las nociones matemáticas elementales, como el conteo, la cardinalidad, el número, la adición, etc., resaltando aquellos aspectos que, a nuestro entender son más útiles con respecto a la práctica educativa.

LA POSICIÓN CLÁSICA DE PIAGET

Piaget, (Greco, Grize, Papert y Piaget, 1960; Piaget, 1983; Piaget y Szeminska, 1941) es uno de los primeros autores que analiza empíricamente y en profundidad el origen y desarrollo del número y de otras nociones matemáticas del niño. Con respecto al concepto de número, hay tres teorías que pretenden determinar su origen: 1, la teoría cardinal; 2, la teoría ordinal, y 3, la teoría cardinal-ordinal de Piaget. La teoría cardinal es una traducción literal de la teoría de Frege-Russell (1884-1903) en términos psicológicos; por lo que la explicación de los orígenes psicológicos del número se convierte en una tarea análoga a la de explicar cómo llegan los niños por primera vez a comprender el número cardinal. La teoría ordinal (Brainerd, 1973a, 1973b, 1973c) se inspira en la aproximación relacional del número. Dicha teoría asume que el número hace referencia a los términos de las relaciones asimétricas-transitivas de las progresiones que generan tales relaciones. En consecuencia, el origen psicológico del número se identifica con el origen psicológico del número ordinal. Por último, la teoría cardinal-ordinal de Piaget, corno su propio nombre indica, hace referencia tanto al significado ordinal como cardinal del concepto de número, combinando la dimensión clasificatoria y relacional del mismo. Piaget considera inadecuado sostener que el sistema de los números naturales se basa exclusivamente bien en los números ordinales, bien en los números cardinales, ya que tienen que identificarse tanto con los unos como con los otros. Este autor (1983) afirma que la construcción de los números cardinales no puede explicarse, como creían Whitehead y Russell (1910-13), por el simple establecimiento de la correspondencia uno a uno entre clases equivalentes, ya que la correspondencia que ellos utilizan introduce implícitamente la unidad y, por lo tanto, el número, lo que convierte su argumento en circular. Cuando se trata con conjuntos finitos, los números cardinales no pueden disociarse de los ordinales y están sujetos a tres condiciones: A) abstracción a partir de las cualidades, lo que hace que todos los objetos individuales sean equivalentes y por lo tanto: 1 = 1 = 1; B) el orden es necesario para distinguir los objetos entre sí; C) la inclusión de (1) en (1 + l), después de (1 + 1) en (1 + 1 + l), etc. Por tanto, el número resulta de la síntesis de la clasificación de objetos equivalentes y del orden de los mismos, de modo que mediante un proceso iterativo se cuantifica, dando lugar a la serie de los números enteros.

En cuanto a la evolución de la cardinación y la ordinación (Piaget y Szeminska, 1941), distinguen tres fases: en la primera, la seriación, que es preordinal (el niño no comprende espontáneamente el orden progresivo de los elementos), se corresponde con la primera etapa de la cardinación, en la que no hay ninguna conservación de las cantidades -sean éstas continuas o discontinuas-. Son dos las características que comparten: la naturaleza global y la dependencia de la experiencia perceptiva inmediata. En la segunda, la ordinación basada en la seriación y correspondencia intuitivo y con vacilaciones) se corresponde con el comienzo de la conservación de las cantidades, pero sólo para determinadas transformaciones, como la correspondencia término a término y la reproducción de las cantidades por medio del análisis exacto de las figuras, aunque la equivalencia no es durable. En esta segunda etapa, el niño no opera todavía, aunque sea capaz de llevar a cabo un análisis correcto no enteramente independiente de la percepción. Por último, en la tercera etapa, la ordinación y la cardinación pueden equipararse tanto por sus estructuras como por sus resultados; en ambos casos triunfa la operación sobre la intuición. La composición operatoria acaba por sobreponerse a la constatación perceptiva, o más exactamente aquélla dirige y supedita a ésta. En la primera etapa no existe todavía coordinación entre el proceso de carácter ordinal y los procesos de carácter cardinal. En la segunda, las relaciones son más complejas, ya que señalan el comienzo de la coordinación entre ambas estructuras, aunque sólo a nivel intuitivo. En la tercera etapa, el niño resuelve correctamente todas las tareas que se le plantean, bien al pedirle que determine un valor cardinal por medio de un rango concreto, bien al solicitarle que averigüe un rango particular a partir del valor cardinal. Comprende, por tanto, la relación existente entre la ordinación y la cardinación.

Con respecto a la adición, se trata de una operación que aúna las partes en un todo. Es decir, la adición es una operación reversible que se constituye cuando, por una parte, los sumandos se reúnen en un todo y, por otra, cuando dicho todo se considera constante (invariante) con independencia de las diversas particiones que puedan efectuarse. Ahora bien, para que el todo sea conceptualizado como constante, el niño tiene que poseer la conservación operatoria. Piaget y Szeminska (1941) utilizan tres técnicas para estudiar la composición aditiva: a) identidad del todo a pesar de las distintas composiciones aditivas de sus partes; b) igualación de dos cantidades, y c) partición del todo en dos partes equivalentes. Los resultados empíricos obtenidos muestran la existencia de una etapa inicial en la que no hay composición aditiva, una etapa intermedia en la que se manifiesta una composición aditiva intuitivo y una etapa final en la que se da una composición aditiva real, definida por la invarianza del todo y la reversibilidad de las operaciones que la constituyen. De modo más explícito, en la primera etapa el niño se rige por las relaciones perceptivas, llegando a conclusiones erróneas al comparar entre sí las diversas partes de dos conjuntos equivalentes, o al ignorar que los elementos dispuestos ante él constituyen un todo constante y que, por lo tanto, los elementos sustraídos a una de las partes son adicionados a la restante. De todo ello se desprende que en esta primera etapa no hay ni adición ni sustracción auténticas, sino tan sólo acciones empíricas, cuyos efectos desconoce a priori. La segunda etapa supone un paso más hacia la consecución de una composición aditiva, puesto que las totalidades se estructuran mejor gracias a la intuición espacial. No obstante, dada la ausencia de conservación operatoria, no puede haber un todo que permanezca constante

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