INTRODUCCIÓN A LAS SERIES DE FOURIER
Enviado por PEDRO ALBERTO GARCIA • 19 de Junio de 2021 • Ensayos • 2.778 Palabras (12 Páginas) • 213 Visitas
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TLÁHUAC II | ||
MATERIA CÁLCULO INTEGRAL | GRUPO 2A | CARRERA IMEC |
PROFESOR M. EN C. E. ROBERTO CALDERÓN JUÁREZ | ||
ALUMNO: GARCIA SERRANO PEDRO ALBERTO |
UNIDAD 5. INTRODUCCIÓN A LAS SERIES DE FOURIER
Sección 5.3 Series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo
Serie de Fourier de una función dada 𝑓(𝑥) periódica de periodo 2 𝑙, su representación es
𝑎0
𝑚=∞
𝑚 𝜋 𝑥
𝑚 𝜋 𝑥
𝑓(𝑥) =[pic 1]
+ ∑ [ 𝑎𝑚 𝑐𝑜𝑠 (
𝑚=1[pic 2][pic 3][pic 4]
𝑙 ) + 𝑏𝑚 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑙 ) ]
Donde los parámetros: 𝑎0 , 𝑎𝑚 , 𝑏𝑚; son calculados de la siguiente forma
1 𝑙
𝑎0 =
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑙 −𝑙[pic 5]
1 𝑙
𝑚 𝜋 𝑥
𝑎𝑚 =
∫ 𝑓(𝑥) 𝑐𝑜𝑠 (
𝑙 −𝑙[pic 6][pic 7]
) 𝑑𝑥
𝑙
1 𝑙
𝑚 𝜋 𝑥
𝑏𝑚 =
∫ 𝑓(𝑥) 𝑠𝑒𝑛 (
𝑙 −𝑙[pic 8][pic 9]
) 𝑑𝑥
𝑙
Dada la función escalonada onda diente de sierra[pic 10]
𝑓(𝑡) = { 2𝑥 ; 𝑠𝑖 2 𝑛 𝜋 < 𝑥 < (2 𝑛 + 1 )𝜋
0 ; 𝑠𝑖 (2 𝑛 + 1 )𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 (2 𝑛 + 2)
; "𝑛" 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜
Cuyo periodo es 2𝑙 = 2𝜋 ; pues el tiempo corre de 2 𝑛 𝜋 a (2 𝑛 + 2) 𝜋 . cuya gráfica es
𝑬𝒋𝒆 𝒀 𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝑴𝒆𝒄á𝒏𝒊𝒄𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆 (𝒐𝒏𝒅𝒂 𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒔𝒊𝒆𝒓𝒓𝒂)
𝟐𝝅[pic 11]
+∞
𝟎 𝝅 𝟔𝝅 𝑬𝒋𝒆 𝑿 (𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐)[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]
Problema: encontrar su representación en serie de Fourier
[pic 16]
PARTE 1: sumando 𝑎0
1 𝑙
𝑎0 =
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑙 −𝑙[pic 17]
1 𝜋
𝑎0 =
∫ 2𝑥
𝜋 −𝜋[pic 18]
𝑑𝑥
𝑎0 =
2 𝑥2
|[pic 19][pic 20]
𝜋 2
𝑥=𝜋
𝑥=−𝜋
𝑎0 =
2 𝜋2
- [ −[pic 21][pic 22]
𝜋 2
(− 𝜋)2
][pic 23]
2
𝑎0 =
2 𝜋2
- [ −[pic 24][pic 25]
𝜋 2
𝜋2
][pic 26]
2
𝑎0 = 0
PARTE 2: sumando 𝑎𝑚
1 𝑙
𝑚 𝜋 𝑥
𝑎𝑚 =
∫ 𝑓(𝑥) 𝑐𝑜𝑠 (
𝑙 −𝑙[pic 27][pic 28]
) 𝑑𝑥
𝑙
1 𝜋
𝑚 𝜋 𝑥
𝑎𝑚 =
∫ 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋 −𝜋[pic 29][pic 30]
) 𝑑𝑥
𝜋
2 𝜋
𝑎𝑚 =
∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑚𝑥 𝑑𝑥
𝜋 −𝜋[pic 31]
𝑎𝑚 =
2 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑥
[ +[pic 32][pic 33]
𝜋 𝑚
𝑐𝑜𝑠 𝑚𝑥
𝑚2 ] |[pic 34]
𝑥=𝜋
𝑥=−𝜋
𝑎𝑚 =
2 𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝑚𝜋 − 𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝑚(−𝜋)
[ +[pic 35][pic 36]
𝜋 𝑚
𝑐𝑜𝑠 𝑚𝜋 − 𝑐𝑜𝑠 𝑚(−𝜋)
𝑚2 ][pic 37]
𝑎𝑚 =
2 𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝑚𝜋 + 𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝑚𝜋
[ +[pic 38][pic 39]
𝜋 𝑚
𝑐𝑜𝑠 𝑚𝜋 − 𝑐𝑜𝑠 𝑚𝜋
𝑚2 ][pic 40]
𝑎𝑚 = 0
PARTE 1: sumando 𝑏𝑚
...