LOS FRACTALES Informe de Investigación, abreviado, para el Curso

UNIVERSIDAD CIENTIFICA DEL SUR                                                                                 FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS, INFORMACIÓN Y GESTIÓN

[pic 1]

LOS FRACTALES

Informe  de Investigación, abreviado, para el Curso

“Algebra Básica”

Presentado por:

GUERRERO GUEVARA, ZE CARLOS

GASTELÚMÉNDEZ, DULCE

LIMA – PERU

2015

Tabla de Contenidos

Introducción e información general        3

Los Fractales        4

¿Qué es un fractal?        4

Caracteristicas        4

Tipos de Fractales        4

Dimension Fractal        5

Fractal y la teoria del Caos        7

Fractales Famosos        9

Triangulo de Sierpinski        9

Curva de Koch.        10

Esponja de Menger.        11

Conjunto de Mandelbrot.        12

Aplicaciones de los Fractales        13

Musica Fractal        13

Computacion.        13

Medicina.        14

Geografia.        15

Cardiologia        15

conclusion _        16

Bibliografia        17

Introducción

Con este trabajo deseamos presentar la noción del concepto de fractal y las bases de la geometría fractal, dar a conocer algunos de las múltiples aplicaciones de los fractales y los métodos de análisis basados en esta técnica.

Mostraremos un panorama de la tendencia en la utilización de las herramientas derivadas de la geometría fractal y los métodos del análisis fractal han demostrado ser una herramienta con un gran potencial para el estudio y la obtención de información en distintas ramas del conocimiento.

Presentaremos, conceptos entendibles y ejemplos que hagan más fácil el aprendizaje sobre este tema, al final del presente trabajo conoceremos claramente el concepto de fractal y podremos profundizar de un modo matemático en una disciplina casi totalmente extraña.

LOS FRACTALES

¿Qué es un Fractal?

        El término “Fractal” fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado. 

Un fractal es un objeto semigeometrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. Es decir, por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura. De hecho, somos incapaces de afirmar a qué distancia nos encontramos del objeto, ya que siempre lo veremos de la misma forma.

Esta estructura puede ser generada por un proceso recursivo o iterativo capaz de producir estructuras similares independientemente de la escala de visualización.

Matemáticamente, es un conjunto de puntos cuya dimensión fractal es más grande que su dimensión topológica (de hecho la dimensión de un fractal no es un número entero).

Características

1. Autosimilitud: la figura puede dividirse en distintas partes más pequeñas cuando se queras y esto trozos serán idénticos al total. El fractal puede ser divido cuantas veces se desee y los resultados obtenidos serán igual que el conjunto total.
2. Dimensión: La dimensión de un fractal no es número entero.
3. Área y perímetro: El área es finita peri su perímetro es infinito.
4. Detalles en escalas: Presenta el mismo patrón una y otra vez a escalas arbitrariamente grandes o pequeñas.

Tipos de Fractales

Podemos clasificar los fractales por las siguientes características:

Los fractales lineales son aquellos que se construyen con un cambio en la variación de sus escalas (Conjunto de Cantor Triángulo de Sierpinski Curva de Koch)

En cambio, los fractales no lineales se generan creando distorsiones no lineales o complejas.

Dimensión Fractal

La dimensión fractal es un exponente que da cuenta de cuán completamente parece llenar un fractal el espacio conforme se amplía el primero hacia escalas más y más finas. Los fractales deben poseer  una dimensión que debe ser no entera y cuya dimensión fractal debe superar a su dimensión topológica. Las dimensiones topológicas son las siguientes:

• Dimensión -1 (conjunto vacío)
• Dimensión 0 (un punto)
• Dimensión 1 (una línea recta)
• Dimensión 2 (un plano)
• Dimensión 3 (el espacio)

Como los fractales están compuestos por elementos cada vez más pequeños de si, el concepto de longitud pasa a ser algo complejo porque mediremos los fractales por su dimensión.

El cálculo de la dimensión de un objeto nos permitirá conocer si ese objeto es o no un fractal.

La expresión matemática para calcular la dimensión de un fractal es  de la cual S es la cantidad de segmentos o su longitud, L es la escala de dimensión y D es la dimensión, la cual debemos despejar.[pic 2]

Despejando obtenemos la siguiente expresión

[pic 3]

A continuación vamos a comprobar si una línea recta es o no un fractal. Tomamos por ejemplo un segmento de 1 metro de longitud, el cual mediremos con una regla que también mide 1 metro. Por lo tanto tenemos que S=1 y L=1. Operamos pues, con la expresión anterior:

== 1[pic 4][pic 5]

Obtenemos por lo tanto que la dimensión de una línea recta vale 1.

Por la definición de fractal, decíamos que un fractal debe poseer una dimensión fractal (la cual acabamos de calcular) superior a su dimensión topológica que en el caso de la recta vale 1. Por lo tanto deducimos que una recta no es un fractal.

Análogamente probamos que un cuadrado (de dimensión 2) y un cubo (de dimensión 3) tampoco son fractales porque sus dimensiones fractales no superan a sus dimensiones topológicas.

Veamos ahora un ejemplo del cálculo de la dimensión de un objeto que sí que es un fractal. Un fractal se genera en tres etapas. La primera es definir una figura generadora. La segunda etapa es aplicar un determinado algoritmo sobre esa figura y la tercera etapa consiste en iterar ese algoritmo sobre la figura generada. Veamos un ejemplo gráfico con la conocida curva de Koch.

1º ETAPA (definición de la figura generadora)

[pic 6]

2º ETAPA (aplicación de un determinado algoritmo)

[pic 7]

3º ETAPA (iteración de dicho algoritmo)

[pic 8]

Para calcular la dimensión de este objeto tomamos L=3 y S=4. Aplicando la fórmula de la dimensión obtenemos:

[pic 9]

FRACTALES Y LA TEORIA DEL CAOS

La teoría del caos tiene un fuerte trasfondo filosófico. Los fractales no lineales implican caos, pero el caos no implica a fractales, es decir, la teoría del caos no se basa únicamente en la geometría fractal. Los sistemas caóticos son aquellos que se encuentran afectados directamente por sus condiciones iniciales, transformándolos en el transcurso del tiempo en sistemas imposibles de predecir. Podemos poner como ejemplo el llamado “efecto mariposa”, el cual estipula que pequeñas variaciones en las condiciones iniciales de un sistema dinámico pueden producir grandes variaciones en el comportamiento del sistema a largo plazo. Cualquier sistema regido por las leyes de la naturaleza en un momento dado se puede transformar en un sistema totalmente caótico que esté regido más por el azar que por las leyes de la naturaleza.

Postulados importantes sobre la teoría del caos:

Para la teoría del caos no existen sistemas ni 100% ordenados ni 100% caóticos. Esta teoría acepta tanto al orden como al caos lo relaciona en una dualidad de la siguiente manera: “En todo sistema ordenado, el caos siempre está presente o implícito” “En todo sistema caótico, el orden siempre está presente o implícito”. Imaginemos un sistema ordenado. En todo momento este sistema permanece ordenado pero lleva implícito consigo el mismo caos, que va trabajando poco a poco muy silenciosamente y en un determinado punto se apoderará por completo del mismo produciendo consecuencias insospechadas. Por más que un sistema haya derivado en caos o se haya vuelto ordenado y estable, potencialmente vuelve a pasar al estado inverso. Ahora, aquel que era estable y derivó en caos vuelve a llevar implícito consigo mismo el volver a transformarse nuevamente en orden. Y aquel que era caótico y desordenado y derivó en orden, ahora lleva el caos implícito en su esencia. Esto lleva a conformar un circuito que no es ni más ni menos que cómo se genera y se construye la naturaleza.

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