Puntos críticos de una curva

Práctica #1 “Puntos críticos de una curva””

Fecha de Entrega

21/Sep/2015

Objetivo:

Que el alumno demuestre los conocimientos adquiridos en clase sobre el tema de “Puntos críticos de una curva” utilizando el programa “Geogebra” como apoyo para realizar este trabajo.

Conceptos Principales:

1.  Punto crítico: El punto crítico de una función de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0. El valor de la función en el punto crítico es un valor crítico de la función.

2.  Máximos y mínimos: Los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).

3.  Curva: Es una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente.

4.  Fórmula general: Esta fórmula es principalmente utilizada para la obtención de 2 resultados, suele ser aplicada en casos de factorización.

Contenido Procedimental:

1. Primeramente nos planteamos una ecuación referente al tema.
2. Después derivamos la función e igualamos a cero.
3. Luego sacamos los valores a, b y c para sustituirlos en la fórmula general y así poder sacar el valor de “x”.
4. Cuando sacamos los valores de “x” volvimos a derivar la ecuación para sustituir en ella.
5. Determinamos si eran máximos o mínimos con los valores que determinamos.
6. Después de sacar todos los valores necesarios pasamos a graficarlos en “Geogebra” para obtener una gráfica más exacta y comprobar si lo que habíamos hecho estaba correcto.

[pic 1]

Gráfica:

[pic 2]

Operaciones o Proceso:

Operaciones. Encontrar los puntos críticos y determinar si son máximos y mínimos de la ecuación: 𝒚=𝑥3−3𝑥+4

1. Derivada de la función:

=3𝑥2−3[pic 3]

2. Igualación de la derivada a 0.

𝟎=3𝑥2−3

3. Sustitución de los valores en la formula general:[pic 4]

a=3                                  

b=0                                  

c=-3

Entonces: [pic 6][pic 5]

𝑥= [pic 7]

4. Sustitución en la ecuación 𝑦=3𝑥3−3𝑥+4 de los valores encontrados para x:[pic 8]

Para X1:𝑦=(−1)3−3(−1)+4                            

𝑦= 6

Para X2: 𝑦=(1)3−3(1)+4

y= 2

5. Realización de la segunda derivada.

= 6𝑥[pic 9]

6. Sustitución en la segunda derivada de los valores obtenidos en x.

Para X1: =6(−1)=-6        [pic 10]

Para X2: =6(1)=𝟔[pic 11]

Asignaturas que intervienen:[pic 12]

• Cálculo Integral
• Cálculo diferencial
• Álgebra
• Geometría analítica

Explicar gráfica:

La gráfica mostrada, es una curva de función 𝒚=𝑥3−3𝑥+4, ó ecuación de tercer grado (es decir su mayor exponente es 3) presenta 2 cambios de dirección y debido a esto, presenta también 2 “puntos críticos” (correspondientes a la letra “A” Y “B” respectivamente) los cuáles son cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0. Determinando así si se trata de un máximo en caso de que (<0) ó mínimo en el caso de que sea (>0).

Conclusión:

En esta práctica tuvimos la oportunidad de demostrar los conocimientos ya adquiridos en clase, todo lo ya aprendido sobre puntos críticos fue plasmado en esta primera práctica en la que se le dio el uso adecuado al programa geogebra que nos brindó los medios necesarios para poder realizar de manera exacta la gráfica de los puntos críticos de una curva de la ecuación ya presentada en las páginas anteriores.

Además se vio involucrado un trabajo colaborativo en el que se contó con la participación equitativa y distribuida de todos y cada uno de los miembros pertenecientes al equipo de trabajo.

Observaciones:

1.- Fue complicado encontrar una ecuación en la que todos los valores fueran enteros (ya que usar fracciones es más complicado).

2.- Al aumentar el valor de x3 en el graficador “geogebra”, la gráfica se hacía más angosta, y viceversa al reducir el valor.

3.- Al aumentar el valor de x2, los puntos críticos se distanciaban y viceversa al reducir el valor, al ser el coeficiente de esta variable (ax2), mayor que el exponente de la variable anterior (bx3), no es posible determinar los puntos críticos.

4.- Al aumentar el valor de x, la gráfica se asemejaba más a una línea recta.

5.- El último valor (la constante) determina la posición del punto de inflexión.

6.- Elegimos determinar los valores de x por formula general, porque nos pareció mas fácil, pero es posible utilizar otros métodos.

7.- La determinación por máximos y mínimos arrojó 2 números, de la misma magnitud, pero con signo contrario.

Integrantes:

Armendáriz Cabral Valeria

Corral González Ruth Anahí

González Parga Karenm Pamela

Ibarra Gutiérrez Jesús Iván

Peña Ochoa Yazmin