UNIDAD 3: PASO 3 - USO DE LAS REGLAS DE INFERENCIA

UNIDAD 3: PASO 3 - USO DE LAS REGLAS DE INFERENCIA

PENSAMIENTO LÓGICO Y MATEMÁTICO

PRESENTADO POR:

FABIÁN DE LA PUENTE ROYERO COD: 1052988664

TUTOR:

JORGE MARIO VILLEGAS

GRUPO:

200611_18

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES

CEAD BARRANQUILLA

NOVIEMBRE DE 2017

OBJETIVOS

• Identificar y utilizar de forma clara las reglas de inferencia lógica.
• Socializar la conceptualización, con tres ejemplos de la demostración por el Principio de Inducción Matemática.
• Socializar la conceptualización, con tres ejemplos de Silogismo Hipotético y Silogismo Disyuntivo
• utilizar las operaciones necesarias de las tablas de verdad y la aplicabilidad de las leyes de inferencia lógica para resolver el ejercicio 5 del Anexo 1.

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se dará a conocer el desarrollo del Paso 3: Unidad 3 – Uso de las reglas de inferencia, mediante cuatros etapas abarcadas así; la primera etapa consiste en la conceptualización de la demostración por el Principio de Inducción Matemática, la segunda etapa consiste en la conceptualización de Silogismo Hipotético y Silogismo Disyuntivo, la tercera etapa consiste en utilizar las operaciones necesarias de las tablas de verdad y la aplicabilidad de las leyes de inferencia lógica para resolver el ejercicio 5 del Anexo 1, la cuarta y última etapa consiste en una presentación a través de Prezi acerca del Principio en la dualidad del Álgebra de Boole el cual se ilustra mediante una dirección de enlace.

ETAPA 1:

DEMOSTRACIÓN POR EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Sea   P   una propiedad definida en los números naturales (enteros positivos). Si   1   satisface esa propiedad y además si a partir de cualquier natural   n   que satisface esa propiedad se llega a que   n   +   1, también la satisface, entonces cada número natural la satisface.

Para probar que una propiedad   P   se cumple en los números naturales, usando el principio de inducción matemática, se siguen los siguientes pasos:

1°) Se comprueba para   n   =   1     (Comprobación).

2°) Se asume que se cumple para   n   =   k     (Hipótesis de inducción).

3°) Se predice que se cumple para   n   =   k   +   1     (Tesis).

4°) Se demuestra que si se cumple para   n   =   k, entonces se cumple para   n   =   k   +   1     (Demostración) .

Observación:   En algunos casos la propiedad se cumple a partir de un cierto natural   m   >   1.  Dada esa situación, en el primer paso se comprueba para   n   =   m.

Ejemplo 1

Demuestre por inducción matemática que:

Si   n   es un entero positivo, entonces   n ( n   +   1 )   es divisible por  2 .

a) Sea   n    =    1, entonces:

n ( n   +   1 )    =    2     ( Verdadero ) .

b) Sea   n   =   k, entonces:

k ( k   +   1 )   es divisible por   2     ( Hipótesis de inducción ) .

c) Sea   n   =   k   +   1, entonces:

( k   +   1 ) ( k   +   2 )   es divisible por   2     ( Tesis ) .

d) Demostración:

( k   +   1 ) ( k   +   2 )   =    k ( k   +   1 )   +   2 ( k   +   1 )

k ( k   +   1 )   es divisible por   2    ( Por hipótesis de inducción ) .

2 ( k   +   1 )   es divisible por   2     ( Entero par ) .

Por lo tanto   ( k   +   1 ) ( k   +   2 )   es divisible por   2 .

Ejemplo 2

Demuestre por inducción matemática que:

2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 n   –   2 )    =    2 n 2

a) Sea   n    =    1, entonces:

4 n   –   2    =    2

2 n 2    =    2    ( Verdadero ) .

b) Sea   n   =   k, entonces:

2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 k   –   2 )    =    2 k 2     ( Hipótesis de inducción ) .

c) Sea   n   =   k   +   1, entonces:

2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 k   –   2 )   +   ( 4 ( k   +   1 )   –   2 )    =    2 ( k   +   1 ) 2     ( Tesis ) .

d ) Demostración:

2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 k   –   2 )    =    2 k 2    ( Por hipótesis de inducción ) .

2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 k   –   2 )   +   ( 4 ( k   +   1 )   –   2 )    =    2 k 2    +    ( 4 ( k   +   1 )   –   2 )

2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 k   –   2 )   +   ( 4 ( k   +   1 )   –   2 )    =    2 k 2   +   4 k   +   2

Por lo tanto   2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 k   –   2 )   +   ( 4 ( k   +   1 )   –   2 )    =    2 ( k   +   1 ) 2

Ejemplo 3

Demuestre por inducción matemática que:

Si   n   es un entero positivo, entonces   a 2 n   –   b 2 n   es divisible por   a   +   b .

a) Sea   n    =    1, entonces:

a 2 n   –   b 2 n    =    a 2   –   b 2    =    ( a   +   b )( a   –   b )    ( Verdadero ) .

b) Sea   n   =   k, entonces:

a 2 k   –   b 2 k   es divisible por   a   +   b     ( Hipótesis de inducción ) .

c) Sea   n   =   k   +   1, entonces:

a 2 ( k  +  1 )   –   b 2 ( k  +  1 )   es divisible por   a   +   b     ( Tesis ) .

d) Demostración:

a 2 k   –   b 2 k   es divisible por   a   +   b    ( Por hipótesis de inducción ) .

a 2 ( a 2 k   –   b 2 k )   es divisible por   a   +   b .

b 2 k ( a 2   –   b 2 )   es divisible por   a   +   b .

a 2 ( a 2 k   –   b 2 k )   +   b 2 k ( a 2   –   b 2 )   es divisible por   a   +   b .

a 2 k   +   2   –   a 2 b 2 k   +   b 2 k a 2   –   b 2 k   +   2   es divisible por   a   +   b .

Por lo tanto   a 2 ( k  +  1 )   –   b 2 ( k  +  1 )   es divisible por   a   +   b.

ETAPA 2:

SILOGISMO HIPOTÉTICO (S:H) y SILOGISMO DISYUNTIVO (S.D) O MODUS TOLLENDO PONENS (MPP)

SILOGISMO HIPOTÉTICO: esta ley habla de la reacción a un posible suceso. Y es un argumento que se expresa simbólicamente así:

[pic 1]

p → q Se lee: si p entonces q

q → r Se lee: si q entonces r

\ p → r Se lee: de donde

Si p entonces r

Premisa 1. Si el agua se hiela, entonces sus moléculas forman cristales.

Premisa 2. Si las moléculas forman cristales, entonces el agua aumenta de volumen.

Conclusión. Si el agua se hiela, entonces el agua aumenta de volumen.

Simbólicamente:

p: El agua se hiela

q: Sus moléculas forman cristales

r: El agua aumenta de volumen

SILOGISMO DISYUNTIVO: Si una disyunción es verdadera y una de sus proposiciones simples es falsa, entonces necesariamente la otra proposición será verdadera.

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