ÁREA ENTRE LAS GRÁFICAS DE FUNCIONES
Enviado por gaslhdjkfhgfgh • 16 de Septiembre de 2020 • Apuntes • 1.146 Palabras (5 Páginas) • 218 Visitas
UNIDAD III APLICACIONES DE LA INTEGRAL
3.1.2 ÁREA ENTRE LAS GRÁFICAS DE FUNCIONES
En la unidad I calculamos áreas de regiones que se encuentran debajo de las gráficas de funciones y el eje de las “x”. Ahora usaremos las integrales para hallar áreas de regiones delimitada por las gráficas de dos o más funciones.
Considere la región “AREA” que se encuentra entre dos curvas f(x) y g(x) y en entre las rectas verticales x = a y x = b donde f y g son funciones continuas y f(x) > g(x) para toda “x” en el intervalo cerrado [a, b].FIGURA 3.1.4
[pic 1]
[pic 2]
[pic 3]
El área “A” de la región limitada por las curvas Y=f(x) y Y=g(x) y las rectas x=a y x=b donde f, g son continuas y f(x) > g(x) para toda x en el intervalo [a, b] es:
[pic 4]
En el caso especial donde g(x) no existe note que el área es la región debajo de la gráfica de f(x) y nuestra definición general de área y nuestra definición de área se reduce a lo que vimos en el capítulo anterior.
[pic 5]
La expresión f(x) > g(x) nos indica que f(x) se encuentra sobre o arriba de g(x) en el caso que suceda lo que muestra la gráfica siguiente:
[pic 6]
Donde:
f(x) curva
g(x) la recta
x=d recta vertical
para obtener el área total de la gráfica se toman los intervalos y las funciones de la manera siguiente:
[pic 7]
[pic 8]
A la función de arriba se le resta la función de abajo. En algunos ejemplos se toman en cuenta funciones que son rectas verticales tal como FIGURA 3.1.6 x=d (recta vertical).
El área entre funciones también aplica para regiones en donde las funciones tienen valores negativos.
[pic 9]
observar que f(x) se encuentra en la región positiva del eje x y la función g(x) está en sección negativa del eje x, esto no afecta para hacer el cálculo de área entre las dos funciones
Los ejercicios siguientes resolvemos ejemplos de diferentes tipos, en donde dos funciones se intersectan en dos o más puntos, en donde los intervalos los determinan rectas verticales o donde tenemos que girar ejes y resolver con respecto a la variable “y” y otros
- Hallar área de la región limitada por: ; ; & [pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]
[pic 14]
[pic 15][pic 16]
x | y | x | y |
0.0 | 1.0 | 0 | 0 |
0.2 | 1.22 | 0.2 | 0.2 |
0.4 | 1.49 | 0.4 | 0.4 |
0.6 | 1.82 | 0.6 | 0.6 |
0.8 | 2.22 | 0.8 | 0.8 |
1.0 | 2.71 | 1 | 1 |
[pic 17]
= - [pic 18][pic 19][pic 20]
[pic 21]
En este ejemplo se involucran ; ; & [pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]
En el siguiente ejemplo solo intervienen dos funciones, pero se tiene que encontrar la intersección de estas, igualando las funciones, con los métodos usados en cursos anteriores.
Se elabora la tabulación para comprobar la intersección entre las funciones y las gráficas ya sean funciones lineales o curvas.
- Encontrar el área acotada por las gráficas de y [pic 26][pic 27]
Se iguala [pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
La intersección de las dos funciones es (0,0) y (1,1) ver figura 3.2.6 la función superior & la función , es la función inferior (abajo) [pic 32][pic 33]
[pic 34]
[pic 35][pic 36]
x | y | x | Y |
0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 |
0.2 | 0.44 | 0.2 | 0.4 |
0.4 | 0.63 | 0.4 | 0.16 |
0.6 | 0.77 | 0.6 | 0.36 |
0.8 | 0.89 | 0.8 | 0.64 |
1.0 | 1.0 | 1.0 | 1.0 |
Tabulación de ambas
Se resuelven las dos integrales y se le resta la función inferior a la función superior también al límite superior (1) se le resta el inferior (0)
[pic 37]
[pic 38]
[pic 39]
- Encontrar el área de la región acotada por las graficas y [pic 40][pic 41]
SOLUCION:
Se igualan las dos funciones [pic 42]
[pic 43]
[pic 44]
[pic 45]
[pic 46][pic 47]
x | y | x | y |
-2.0 | 4.0 | -2.0 | 4.0 |
-1.5 | 2.25 | -1.5 | 4.0 |
-1.0 | 1.0 | -1.0 | 4.0 |
-0.5 | 0.25 | -0.5 | 4.0 |
0 | 0 | 0 | 4.0 |
0.5 | 0.25 | 0.5 | 4.0 |
1.0 | 1.0 | 1.0 | 4.0 |
1.5 | 2.25 | 1.5 | 4.0 |
2.0 | 4.0 | 2.0 | 4.0 |
[pic 48]
[pic 49]
[pic 50]
- Hallar el área de la región acotada por [pic 51]
[pic 52]
x | y | x | Y |
-1.0 | -1.0 | -1.0 | 8 |
-0.5 | -.12 | -0.5 | 8 |
0 | 0 | 0 | 8 |
0.5 | 0.12 | 0.5 | 8 |
1.0 | 1.0 | 1.0 | 8 |
1.5 | 3.37 | 1.5 | 8 |
2.0 | 8.0 | 2.0 | 8 |
[pic 53][pic 54]
[pic 55][pic 56][pic 57]
La función x2 = 2 no es necesaria ya que y1 y y2 se cortan en x=2
...