Logro de la sesión de clase
alexander3435Apuntes2 de Julio de 2023
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UPC – Departamento de Ciencias – Matemática Empresarial (CE102)[pic 1][pic 2]
LOGRO DE LA SESIÓN DE CLASE: [pic 3]
[pic 4]
MOTIVACIÓN[pic 5]
Una compañía ha encontrado que sus utilidades (en cientos de dólares) están dadas por:
[pic 6] donde x se encuentra en miles de unidades. ¿Cómo podríamos calcular la utilidad máxima?
[pic 7]
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función cuadrática f, tiene regla de correspondencia de la forma:
[pic 8]
La gráfica de una función cuadrática f es una parábola con eje vertical y de vértice V (h, k)
[pic 9]
Vértice de una parábola
El vértice V (h; k) de la parábola que corresponde a la gráfica de la función cuadrática:
f (x) = ax² + bx + c, (a ≠ 0), se determina usando las siguientes fórmulas:
i) | [pic 10] |
ii) | [pic 11] |
Pasos para graficar
- Identificar los valores de a, b y c
- Determinar el vértice V(h, k) aplicando las fórmulas
- Realizar el plano cartesiano, ubicar el vértice y el punto (0;c) en el eje y
- Hallar los puntos de intersección de la gráfica con los ejes coordenados. Para esto, reemplazar: x = 0 e y = 0 en la regla de correspondencia.
Ejemplo 1[pic 12]
Esboce el gráfico de la función cuadrática: [pic 13]
Solución
Paso 1 Identificamos los valores de a= -1 b= 10 c= - 10 Del valor de a= -1<0, podemos decir que la parábola se abre hacia abajo. Paso 2 Determinamos el vértice [pic 14] [pic 15] El vértice es (5;15) Paso 3 Hallamos los puntos de intersección de la gráfica con los ejes coordenados Intersección con el eje x (y = 0) [pic 16] v [pic 17][pic 18] Así la función intercepta en el eje x en los puntos: ( ; 0) , ( ; 0) [pic 19][pic 20] Intersección con el eje y (x = 0) [pic 21] Así la función intercepta en el eje y en el punto: ( ; - 10 ) [pic 22] Graficamos [pic 23] |
[pic 24]
ACTIVIDAD 1:[pic 25]
Esboce el gráfico de la función cuadrática [pic 26]
Solución
Después de haber intentado resolver, puedes ver la solución aquí [pic 27][pic 28]
[pic 29] | https://youtu.be/E3rJXZB_tWs |
Valores extremos
[pic 30] | [pic 31] |
Ejemplo 2[pic 32]
Calcule el valor máximo o mínimo de la función cuadrática [pic 33]
Solución
Identificamos los valores de a= -1 b= -1 c= - 6 Del valor de a= -1<0, podemos decir que la parábola se abre hacia abajo, por lo tanto tenemos un máximo y es k [pic 34] [pic 35] Así el máximo de la función será -5,75. |
[pic 36][pic 37]
ACTIVIDAD 2:
Calcule el punto máximo o mínimo de la función cuadrática [pic 38]
Solución
Después de haber intentado resolver, puedes ver la solución aquí [pic 39]
[pic 40] | https://youtu.be/pO8dA9pGALk |
[pic 41]
Ejemplo 3
En la empresa P&P, el ingreso (en miles de dólares) está determinado por mientras que el costo total está determinado por (donde x representa el número de unidades de cargadores producidos y vendidos, en cientos).[pic 42][pic 43]
- Determine la utilidad en función del número de unidades producidas.
- ¿Cuántas unidades se deben producir y vender para que la utilidad sea máxima?
- ¿Cuál es la utilidad máxima?
Solución
Sabemos que [pic 44] Reemplazamos [pic 45] Por lo tanto [pic 46]
Para determinar el número de unidades que maximiza la utilidad, debemos hallar h De Identificamos los valores de a= -6 b= 84 c= - 120[pic 47] [pic 48] Por dato del problema el número de unidades está en cientos, por lo tanto se deben producir y vender 700 unidades para maximizar la utilidad.
Para determinar la utilidad máxima, calcularemos k [pic 49] Por dato del problema las unidades monetarias está en miles de dólares, por lo tanto la utilidad máxima será 174 000 dólares. |
[pic 50]
ACTIVIDAD 3:
Andrea Muñoz, tiene una fábrica, cuyas utilidades, en cientos de dólares, están dadas por la expresión donde “x” se encuentra en miles de unidades. Teniendo en cuenta esta información responda las siguientes preguntas:[pic 51]
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Después de haber intentado resolver, puedes ver la solución aquí [pic 52]
https://youtu.be/ZrVLI3EFKqs [pic 53] | https://youtu.be/n-N-OZw500Y [pic 54] |
APLICACIONES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA: RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO.[pic 55]
[pic 56]
MOTIVACIÓN
[pic 57]
¿Cuántas prendas se confeccionaron de 9 a.m. a 11 a.m.?
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