Probabilidades

Estadística II, Probabilidades

ACTIVIDAD 1

Fecha: 19 de Julio del 2012

Definiciones

1) La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) y luego al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

2) La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos.

3) El enfoque clásico de la probabilidad está basado en la suposición de que todos los resultados del experimento son igualmente posibles. La probabilidad se calcula de la siguiente manera:

Probabilidad = número de posibles resultados del evento/número total de resultados posibles del experimento. Abraham De Moivre.

4) La probabilidad de que suceda un evento es determinada observando como sucede el evento en el pasado. En términos de fórmula:

Probabilidad = número de veces que sucedió el evento en el pasado/número total de observaciones. Bernoulli.

5) La probabilidad mide el grado de creencia de un individuo en la verdad de una proposición, variando entre 0 (el individuo cree que es falso) a 1 (cree que es cierto). Esta interpretación fue propuesta por primera vez por el filósofo Frank P. Ramsey. Para los subjetivistas la probabilidad de un suceso debe variar en función de la nueva información recibida respecto del suceso. Según este enfoque la probabilidad de que un evento en particular suceda es asignada basándose en cualquier información disponible, como intuición, opiniones etc.

Origen de la Probabilidad:

La probabilidad nació gracias a los juegos de azar. En el Renacimiento empiezan a surgir inquietudes entorno a contabilizar el número de posibles resultados de un dado lanzado varias veces, o problemas más prácticos sobre cómo repartir las ganancias de los jugadores cuando el juego se interrumpe antes de finalizar. A los matemáticos del siglo XVI como Pacioli, Cardano y Tartaglia se deben las primeras consideraciones sobre los juegos de azar.

En 1654 Antoine Gombaud, el caballero de Meré, un jugador compulsivo, pidió a Blaise Pascal que le resolviese el problema del reparto de apuestas cuando se suspendía la partida antes de terminar. La solución consistió en darse cuenta de que el reparto de las apuestas debe hacerse en función de la probabilidad de ganar que tuviese cada jugador en el momento de interrumpirse el juego. Había nacido la probabilidad.

La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.

PROBABILIDAD MARGINAL

Dentro de la teoría de probabilidades, dadas dos variables aleatorias juntas X&Y, la distribución marginal de X es simplemente la ley de probabilidad de X haciendo caso omiso de la información referente a Y. Este tipo de cálculo se produce cuando se considera el estudio de una tabla de contingencia.

Para las variables aleatorias discretas, la ley de probabilidad marginal Pr(X=x) se escribe

Pr(X=x, Y= y) es la distribución conjunta de X&Y, mientras que Pr(X = x| Y= y) es la distribución condicional de X conociendo Y. Ésta es la lección principal del Teorema de la probabilidad total.

Del mismo modo, para variables aleatorias continuas, la densidad de probabilidad marginal p X (x) verifica

Donde da la distribución conjunta de X&Y, y la distribución condicional de X conociendo Y.

PROBABILIDADES COMO CONJUNTOS

La teoría de conjunto, permite en los cálculos de probabilidad, realizar operaciones entre los eventos como unir, intersecar o complemento.

En los casos de los eventos, “UNIR” implica que los elementos de un evento “A” y del otro “B” formaran un conjunto, este representa que el evento “A” ocurra o que el evento “B” ocurra.

La “INTERSECCIÓN” de dos eventos será un conjunto cuyos elementos están en el evento “A” y en el evento “B”, es decir, ocurre “A” y ocurre “B”.

El Complemento de un evento será un conjunto formado por los elementos que no pertenecen al evento y si pertenecen al espacio muestral.

Entonces, con las operaciones entre conjunto se pueden establecer algunas propiedades que permiten calcular fácilmente la probabilidad de ciertos eventos.

Probabilidades Como Conjuntos

1) E: espacio muestral o conjunto de todos los resultados posibles.

2) A B: al menos uno de los eventos A ó B ocurre.

3) A B: ambos eventos ocurren

4) Ac: el evento A no ocurre.

Ejemplo: en el experimento “lanzar un dado de seis caras” sean los eventos:

A = sale par, B = sale primo. El evento “A ó B” = A B: “sale par o primo” se describe:

Si E es un conjunto de n elementos y A un subconjunto de k elementos, entonces P(A) = k/n, concordando con la definición de las probabilidades.

Propiedades Además de P (E) = 1, P () = 0, 0 P(A) 1, tenemos:

1) Si A B = (A y B se excluyen mutuamente) entonces: P(A B) = P(A) + P (B)

2) P(A) + P (Ac) = 1

3) Si AB entonces P(A B) = P(A) + P (B) - P(A B)

4) Si A y B son eventos independientes (la ocurrencia de A no influye en la ocurrencia de B), entonces P(A B) = P(A) • P(B)

5) Si A y B son eventos dependientes (la ocurrencia de A influye en la ocurrencia

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